Racine d’un nombre complexe et continuité

Lorsque je dois rapidement convaincre mes étudiants du fait qu’il n’existe pas de fonction racine -ième continue sur , je procède par l’absurde comme ceci. Supposons disposer d’une fonction continue vérifiant

Notons le cercle trigonométrique, ensemble des complexes de module 1, et posons , .

Les ensembles(*) , , partitionnent . Or ils sont compacts car est continu, donc fermés, car le cercle est séparé. Ils disconnectent dès lors le cercle. L’existence de est donc contradictoire.

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(*) Pour rappel, si est une racine -ième d’un nombre complexe, alors les racines -ièmes de celui-ci sont les nombres

L’orientation canonique des espaces vectoriels complexes

Alors que je faisais une remarque à propos de la notion d’orientation d’un espace vectoriel sur le forum M@th en Ligne, un ami me faisais observer que celle-ci concerne les espaces vectoriels réels, ce que je n’avais pas précisé dans mon commentaire.

Ceci m’a aussitôt mis la puce à l’oreille : les espaces vectoriels sur ne seraient-ils pas naturellement orientés? Plus précisément, un espace vectoriel complexe est aussi un espace vectoriel réel. Les opérations vectorielles de cet espace, que je noterai , sont les mêmes que celles de à ceci près que l’on restreint la multiplication par les scalaires aux nombres réels. Je me suis donc demandé si la présence d’une structure complexe sur ne le munissait pas automatiquement d’une orientation.

La réponse est positive et la preuve en est aisée comme on va le voir. Elle repose sur une belle formule qu’il est utile de connaître(*).

La clé réside dans le fait que si est une base de , alors est une base de , ce qu’il est immédiat de vérifier. Cela étant, si est la matrice de passage entre des bases et de , alors celle permettant de passer de à est

(1)

Or il se fait que

En particulier, le déterminant de la matrice (1) est positif. Les bases appartiennent donc à la même orientation de qui se voit ainsi naturellement orienté grâce à la structure complexe provenant de .

P.S. (Ce qui suit résulte des commentaires faits sur ce billet, dont je remercie les auteurs.) Pour orienter , nous pourrions utiliser plutôt que , c’est-à-dire considérer les bases

à la place des bases . Lorsque est impair, les deux orientations obtenues sont opposées. Par contre, lorsque est pair, elles coïncident. En conséquence, on peut véritablement parler d’orientation canonique de lorsque est de dimension paire tandis que, en dimension impaire, ce que j’appelle orientation naturelle plus haut est en réalité tributaire du choix de la racine carrée de -1 qu’on convient de désigner par . P.L. 31/05/2012
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(*) Avant qu’un ami ne m’en fasse la remarque, je précise que les espaces vectoriels considérés ici sont de dimension finie.

En guise d’exercice, un lemme sur les paraboles

Considérons deux fonctions

à coefficients réels, avec . On se pose la question de savoir quand .
Voici la réponse dont j’ai eu besoin un jour et que je vous invite à prouver.

On a si, et seulement si, soit soit et il existe des entiers positifs ou nuls tels que et

pour tout , où est de la forme

pour un certain réel

Perles …

Chaque année, j’organise un examen écrit fait de questions de théorie et d’exercices pour une classe comptant de l’ordre de 250 étudiants de première année d’université, dans une filière assez orientée vers les mathématiques. Il n’est pas rare de découvrir des erreurs savoureuses sur certaines copies, erreurs qui ont au moins le mérite de divertir mes collègues lorsque je les leur rapporte autour d’une bonne tasse de café. Rien d’original à cela, bien entendu. Cependant, une année — que je ne préciserai pas, on comprendra pourquoi — j’ai eu la surprise de relever les mêmes erreurs sur un nombre anormalement élevé de copies, copies dont on ne pouvait raisonnablement soupçonner les auteurs d’avoir triché, ce qui aurait pourtant pu expliquer l’anomalie. Non, une étrange et fascinante impression m’encombrait l’esprit après avoir corrigé la dernière copie, celle que ces erreurs avaient leurs racines dans les dernières années du secondaire, qu’elles n’étaient pas tout à fait dues au hasard mais plutôt à la lente (?) érosion de l’enseignement de base des mathématiques. J’en ai fait un minuscule catalogue que je vous présente dans ce bref billet d’humeur…

Simplifions, simplifions …

La simplification miraculeuse suivante a été trouvée dans plus d’une dizaine de copies:

Pour deux inconnues, il faut deux équations …

Egalement très courante, l’erreur suivante prend la forme

Si alors et

C’est très commode quand s’expriment à l’aide de deux inconnues car cela donne alors deux équations. Au passage, les élèves ignorent totalement la notion d’homogénéité, ce qui les prévient de s’étonner de trouver des valeurs pour chaque inconnue alors même que par essence, c’est impossible. L’exemple type est celui-ci

qui permet seulement de déterminer le rapport mais que l’on transforme allègrement en

Un grand classique

Dans la foulée, après avoir déterminé grâce aux deux équations inespérées, on poursuit avec des bi-implications (ils rafolent de ces symboles dont ils ne comprennent généralement pas le sens…) du genre

Sur les traces du logarithme …

Assez stupéfiante voici une nouveauté impressionnante, également repérée de nombreuses fois!

Le signe égal a transformé un produit en une somme! Quand ce produit se trouve au dénominateur, cela permet d’enchaîner avec la première faute afin de se débarrasser d’un 2 gênant. Tout cela est, somme toute, assez cohérent, autre aspect frappant de ces fautes.

Question ouverte à propos des matrices à deux lignes et trois colonnes

Comme je le signalais dans ce billet, le théorème de Rouché-Fontené donne des équations cartésiennes locales pour la variété des matrices réelles de rang ayant lignes et colonnes.

Cela fournit par exemple trois jeux d’équations cartésiennes permettant de décrire . En notant

un élément quelconque de l’ensemble des matrices réelles ayant deux lignes et trois colonnes, et l’ouvert de cet ensemble formé des dont la -ème colonne est non nulle, le premier a pour domaine de définition et pour équations(*)

Les deux autres jeux sont définis dans et et sont donnés par et respectivement, où

Ces équations sont locales en ce sens qu’aucune ne décrit en entier, contrairement à, par exemple, qui décrit globalement la sphère de rayon 1 centrée à l’origine de .

J’ai l’impression que n’admet pas d’équations cartésiennes globales, autrement dit qu’il n’existe pas de fonction de classe d’un ouvert de à valeurs dans qui soit partout de rang 2 et dont soit l’ensemble des zéros, mais je ne sais pas le prouver!

J’aimerais bien que cela soit vrai, cependant, car cela fournirait un bel exemple de variété plongée justifiant, de façon non triviale, l’utilisation d’équations cartésiennes locales.

La question est donc ouverte et je lirai avec plaisir toute remarque, suggestion voire — ce serait l’idéal — démonstration que vous pourriez proposer.

P.S. On peut naturellement formuler une conjecture analogue à propos de mais j’aimerais déjà comprendre ce qu’il se passe dans le cas de , en apparence si anodin.

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(*) Cela signifie que est partout de rang 2 dans et que ses zéros sont les points de .

La droite projective réelle — Equations différentielles ou les avatars d’un champ de vecteurs

En géométrie différentielle, la contrepartie de la notion de système d’équations différentielles autonomes :

(1)

est celle de champ de vecteurs : si les seconds membres du système (1) sont les composantes de l’expression locale d’un champ de vecteurs dans une carte d’une variété, alors une solution de (1) est l’expression locale dans cette carte d’une courbe intégrale de ce champ (c’est-à-dire une courbe le long de laquelle le champ coïncide avec son vecteur tangent).

Les équations (1) ne constituent qu’une description locale du champ de vecteurs et les propriétés de leurs solutions dépendent en partie de la carte choisie; elle peuvent être assez différentes d’une carte à l’autre et ne pas refléter pleinement celles des courbes intégrales maximales du champ. Par exemple sur une variété compacte, les courbes intégrales maximales des champs de vecteurs sont définies sur tout entier ce qui n’est pas nécessairement le cas des solutions maximales des systèmes d’équations qui les représentent dans les cartes de la variété.

Je vais illustrer ce phénomène à propos des équations de Riccati à coefficients constants

en montrant qu’elles sont les expressions locales d’une famille de champs de vecteurs de la droite projective réelle. Dans la foulée, nous obtiendrons ainsi aisément les solutions de ces équations. Nous utiliserons les notations introduites dans ce billet.

Les champs de la droite projective réelle

Le groupe des matrices carrées réelles de dimension 2 et de déterminant 1 opère à gauche de façon naturelle sur privé de l’origine par . Cette action se projette via en une action différentiable sur la droite projective réelle. Nous la noterons .

Considérons un élément de l’algèbre de Lie du groupe.

Le champ fondamental qui lui est associé par la première action est le champ de vecteurs défini par

et son flot est l’application

Il est -lié au champ fondamental associé à par la seconde action dont le flot est dès lors

Nous noterons ce champ de vecteurs.

Expression locale de dans les cartes canoniques

Commençons par exprimer localement l’action d’une matrice

dans la carte . Si la droite admet le vecteur directeur , alors

est un vecteur directeur de . Pour autant que cette dernière appartienne aussi à (*), il vient ainsi

L’expression locale de l’action de dans la carte est donc l’application homographique(**)

Soit à présent . Prenons pour la matrice . L’expression locale de dans la carte n’a qu’une composante. C’est la fonction

Compte tenu des propriétés de l’application exponentielle, elle est facile à calculer. Pour(***)

on trouve

Semblablement, l’expression locale de dans la seconde carte canonique a pour composante(****)

En choisissant convenablement , on peut donner des valeurs arbitraires aux coefficients de . Idem pour . Ainsi,

Les équations différentielles représentants les champs de vecteurs dans les cartes canoniques sont les équations de Riccati à coefficients constants.

Solutions des équations de Riccati à coefficients constants

Les expressions locales des courbes intégrales de décrivent les solutions des équations qui lui sont associées dans les deux cartes. Par exemple, la solution de l’équation passant par en est l’application

restreinte à la composante connexe de dans l’ensemble des tels que . Le fait que ce ne soit éventuellement pas tout entier est donc lié à la possibilité pour les courbes intégrales maximales de passant par les points de de sortir de celui-ci et non au fait que ces courbes ne seraient pas partout définies . Pour résoudre effectivement l’équation considérée, il suffit donc de calculer l’exponentielle de la matrice , ce qui est trivial, et de déterminer la composante connexe en question.

Considérons par exemple l’équation

(2)

Elle est l’expression locale dans la première carte canonique du champ fondamental de la matrice

On a

Donc, en notant la coordonnée locale de , en dehors du cas trivial où , la solution maximale de (2) passant par en est la fonction

restreinte à celui des intervalles qui contient .

L’équation différentielle associée à dans la seconde carte canonique est . Par contraste, ses solutions sont définies sur tout entier. (Au passage, on notera que nous sommes en présence d’un bel exemple de champ de vecteurs redressé, i.e. auquel on a donné une expression locale constante dans une carte appropriée.)

On voit bien que les singularités des solutions de (2) sont des artéfacts créés par le passage en coordonnées locales, chose qu’on ne soupçonne pas lorsqu’on rencontre ce genre d’équations en première année à l’université, faute de disposer du langage de la géométrie différentielle.

Un exemple amusant pour conclure

Pour rappel, nous avons construit dans le billet mentionné plus haut un difféomorphisme canonique de sur le cercle trigonométrique . Par ailleurs, ce dernier possède un champ de vecteurs distingué , celui qui au point associe le vecteur tangent .
Je vous propose de montrer que

où est la matrice

__________
(*) Cela signifie que .
(**) En exprimant qu’on a affaire à une action, on retrouve ainsi une jolie propriété des fonctions homographiques :

(***) L’algèbre est l’espace des matrices réelles carrées de dimension 2 dont la trace est nulle (muni du commutateur en guise de crochet de Lie).
(****) On peut déduire une expression de l’autre en utilisant la fonction de transition entre les deux cartes. En l’occurrence, on observe que

La droite projective réelle et le cercle trigonométrique II

L’application décrite dans ce billet n’est pas seulement une bijection entre la droite projective réelle(*) et le cercle trigonométrique. Il s’avère en effet que c’est un difféomorphisme pour les structures naturelles de variété différentielle dont sont dotés ces deux ensembles.

Ce fait est bien connu mais je trouve instructif de le vérifier. Je crois en effet qu’il est intéressant pour ceux qui font leur premiers pas en géométrie différentielle de voir sur ce joli exemple comment fonctionnent les définitions de base de cette discipline dont le premier abord est, je le constate chaque année, assez difficile.

La droite projective réelle

L’ensemble possède un atlas formé de deux cartes . Le domaine est l’ensemble des droites vectorielles de qui ne sont pas perpendiculaires à . Autrement dit, ce sont les droites dont la -ème composante des vecteurs directeurs n’est pas nulle :

Les composantes d’un vecteur directeur d’une droite en sont des coordonnées projectives ou homogènes. Les applications lui associent les coordonnées non homogènes correspondantes. Plus précisément,

Elles ont toutes les deux pour image.

L’interprétation géométrique de ces applications est très simple. Par exemple, comme illustré sur le dessin suivant, est l’abscisse de l’intersection de avec la droite d’équation .

Les deux cartes construites sont compatibles et forment donc bien un altlas (leurs domaines recouvrent la droite projective). En effet,

C’est cet atlas que l’on choisit pour faire de la droite projective réelle une variété différentielle. La topologie dont elle est alors munie n’est pas bien difficile à identifier(**): l’application

qui associe à la droite vectorielle dont il est un vecteur directeur est surjective. Elle permet d’identifier à un quotient de . La topologie de la variété est alors la topologie quotient associée, c’est-à-dire la plus fine qui rende cette application continue. En particulier, est compact et connexe car c’est l’image par du cercle trigonométrique.

L’application est un homéomorphisme

A ce stade, c’est facile à voir. D’une part, par définition de , le diagramme suivant est commutatif :

Par conséquent est continu, en vertu des propriétés de la topologie quotient. Mais, comme est compact et est séparé, il en résulte que est un homéomorphisme.

L’application est un difféomorphisme

Pour le vérifier, nous allons constater que ses expressions locales dans les cartes canoniques et des cartes bien choisies du cercle trigonométrique sont des applications de classe dont les différentielles sont non singulières. La démarche est la même pour les deux cartes canoniques; je la détaille pour la première.

L’image est le complémentaire de dans le cercle trigonométrique, ce qui nous incite à prendre pour carte de ce dernier celle donnée par la projection stéréographique de pôle , dont le domaine est précisément . Elle associe à l’ordonnée de l’intersection avec l’axe vertical de la droite qui joint à :

Elle est donnée par

Nous devons déterminer

Au nombre réel , associe la droite de vecteur directeur . Pour lui appliquer , nous devons le normer puis élever le résultat au carré, ce qui donne

Appliquant ensuite , nous obtenons ainsi quelque chose d’extrêmement simple : l’expression locale de dans les cartes et est l’identité! Nous trouverions la même chose avec la seconde carte canonique et la projection stéréographique de pôle .

La cause est donc entendue.

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(*) C’est l’ensemble des droites vectorielles de . Plus généralement, l’espace projectif réel de dimension est l’ensemble des droites vectorielles de . On le note .
(**) Mais je ne le ferai pas ici.

Droite projective réelle et cercle trigonométrique I — Equations non linéaires de droites

On a sans doute chacun plus ou moins l’habitude d’associer droites et équations du premier degré. Dans le cas du plan complexe, regardé comme plan affine euclidien réel, les droites possèdent d’autres équations, de nature bien différente. Bien entendu, il est toujours loisible de manipuler des équations données pour les remplacer par des équations équivalentes. Elles risquent de ne pas être très naturelles à cause de l’arbitraire des transformations mais celles que je vais montrer ont une origine très simple et très jolie : l’identification de la droite projective réelle avec un cercle laquelle repose à son tour sur le fait que tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées.

On regarde l’ensemble des nombres complexes comme un plan affine euclidien rapporté au repère dont l’origine est et dont la base, orthonormée et positive, est

Dans ce plan, le cercle de rayon centré à l’origine n’est autre que le fameux cercle trigonométrique

formé des nombres complexes de module égal à

Toute droite passant par l’origine le coupe en deux points diamétralement opposés que l’on peut interpréter comme ses deux vecteurs directeurs unitaires. L’application

est une bijection entre l’ensemble des droites de passant par l’origine — la droite projective réelle — et le cercle trigonométrique. Sa réciproque associe à un point de ce dernier la droite passant par ses deux racines carrées(*). A travers cette correspondance, on peut donc voir le cercle trigonométrique comme l’ensemble des directions du plan euclidien .

Une droite quelconque de est déterminée par sa direction et un de ses points. Notons celle qui passe par le point et qui est parallèle à la droite passant pas les racines carrées du nombre complexe de module . Par définition, appartient à cette droite si, et seulement si,

(1)

En effet, en dehors du cas trivial où , cette condition exprime que est parallèle à la droite.

La relation (1) est donc une équation de . Comme annoncé, elle n’est pas du premier degré en les coordonnées mais sa signification géométrique est d’une simplicité enfantine.

La condition de parallélisme des droites et est ; celle de perpendicularité est . Vous pourriez être tentés de trouver, plus généralement, une formule simple permettant de calculer l’angle de ces droites au moyen de . Aussi ne vais-je pas le faire ici.

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(*) L’application n’est pas seulement une bijection; elle a d’excellentes propriétés analytiques dont je dirai un mot dans un billet à venir.

Polynômes de degré impairs et zéros réels : une remarque en passant

On sait que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins un zéro réel.
En préparant des questions d’interrogation, un collaborateur et moi en sommes venus à discuter de la manière de vérifier ce fait.

Lui, il compte les zéros complexes : allant par paires de nombres complexes conjugués, leur nombre est nécessairement pair et le théorème de d’Alembert permet de conclure.

Pour ma part, j’utilise le théorème des valeurs intermédiaires : le degré du polynôme étant impair, ses limites en sont ; il prend donc des valeurs de signes opposés et s’annule par conséquent quelque part.

La première méthode n’est plus guère accessible aux élèves de l’enseignement secondaire francophone de Belgique car l’étude des nombres complexes n’est au programme que de quelques classes, et encore, en option. Par contre la seconde y est tout à fait exploitable : dans la lente érosion de l’enseignement, l’analyse résiste mieux que l’algèbre et la géométrie.

La première méthode montre directement quelque chose de plus précis : le nombre des zéros réels d’un polynôme à coefficients réels est impair (donc n’est pas nul). La seconde s’adapte sans trop d’efforts pour aboutir à la même conclusion mais c’est moins élégant et direct qu’avec la première.

Espaces affines et polynômes

Dans un article consacré à certaines représentations affines de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs d’une variété(*), Sarah Hansoul et moi avons été amenés à utiliser la notion de polynômes sur un espace affine dans le cas d’espaces de dimension infinie.

Pour introduire cette notion, nous ne pouvions réellement utiliser des bases car nous devions contrôler, dans les applications, le caractère différentiable des objets manipulés et il ne nous semblait pas évident que cela puisse se faire avec des changements de bases de dimension infinies.

Nous nous sommes inspirés de la manière dont Henri Cartan introduit les polynômes sur des espaces vectoriels dans son ouvrage Calcul Différentiel(**). Chose surprenante — du moins pour moi qui n’ai guère d’expérience en algèbre — les espaces de polynômes sur un espace affine ne sont pas gradués mais seulement filtrés par le degré. C’est une des raisons pour lesquelles j’écris ce petit billet.

Les considérations qui suivent s’appliquent à des espaces affines et des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique nulle, disons .

Applications multilinéaires symétriques

Notons l’espace des applications -linéaires symétriques d’un espace vectoriel à valeurs dans un espace vectoriel . A tout , on associe une application, notée , en posant

Le lemme suivant est la clé de ce qui suit.

L’application est injective.

Nous allons le vérifier par récurrence sur . On en trouvera une autre preuve, plus classique, dans le livre de Henri Cartan cité plus haut. Je me contente d’expliquer la phase d’induction, le cas de base étant évident. Supposons donc l’application injective pour les valeurs de moindres que et supposons que vérifie

Alors, en utilisant la multilinéarité de et le fait qu’il soit symétrique, il vient (c’est la formule du binôme de Newton!)

pour tous et tout . En particularisant cette relation pour valeurs distinctes de , on en déduit que les coefficients des puissances de y sont nuls. En particulier, pour tous . Par suite, vu l’hypothèse de récurrence, et le lemme est prouvé.

Polynômes sur un espace affine

Soit un espace affine modelé sur . Nous dirons qu’une application est un polynôme de degré inférieur ou égal à (à valeurs dans ) s’il existe un point de et des tels que

(1)

Les applications ne dépendent alors que de et du point (***). Nous dirons que ce sont les composantes de relatives à .

Le fait, pour , d’être un polynôme sur est indépendant du point utilisé pour le formuler. En effet, un calcul simple permet de voir que si , alors, vérifiant (1), il vient

où

(2)

La suite des espaces vectoriels des polynômes de degré au plus de dans est donc une filtration croissante. Sa limite est l’espace des polynômes sur à valeurs dans .

Il résulte de la formule (2) que : la composante dominante de relative à un point est la même pour tous les points de . Nous la noterons . La filtration de nous donne ainsi des courtes suites exactes d’espaces vectoriels

Par définition de , chaque point de fournit une scission de chacune d’elle mais ces suites ne sont pas canoniquement scindées : ne coïncide pas avec son espace gradué associé

qui, selon la définition proposée dans le livre de Henri Cartan, est l’espace des applications polynomiales de dans .

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(*) Affine Representations of Lie Algebras and Geometric Interpretation in the Case of Smooth Manifolds, IMRN 2005, 16, 981—1003.
(**) Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1967.
(***) En considérant valeurs , on obtient un système d’équations

qui permet de calculer les en terme des par la méthode du pivot; on applique le lemme pour conclure.