On me demande parfois quel logiciel de dessin j’utilise pour fabriquer les illustrations de mes billets.
Au début, j’utilisais Cabri Géomètre mais je l’ai abandonné depuis plus d’un an, au profit de GeoGebra.
Il y a plusieurs raisons à cela.
D’abord, les tracés de courbes (lieux, graphes de fonctions, coniques, etc.) me semblent de bien meilleure qualité sur GeoGebra que sur Cabri Géomètre. Vous pouvez le constater, par exemple, en comparant le tracé d’ellipse réalisé par ce dernier ici ou encore là avec ceux réalisés par GeoGebra dans ce billet.
Ensuite, GeoGebra possède bien davantage de primitives que Cabri Géomètre (du moins dans les versions que je possède).
Mais, au-delà de ces considérations relativement subjectives, GeoGebra présente un indéniable atout que ne possède pas, à ma connaissance, Cabri Géomètre, celui de pouvoir exporter des figures sous différents formats compatibles avec 
J’utilise pour ma part l’exportation au format TikZ : une figure étant réalisée avec GeoGebra, je l’exporte dans ce format. Cela fournit une source
Lorsque je rédige un document intégralement via
Mon blog n’implémentant pas ceux-ci, un travail supplémentaire est nécessaire. En l’occurrence, j’utilise le logiciel “Aperçu” d’Apple : la source
P.S. Je n’aime pas trop ce genre de polémique mais je tiens cependant à souligner le fait que GeoGebra est un logiciel libre, ce que n’est pas Cabri Géomètre qui, sans être excessivement onéreux comme le sont certains esclaves(*), n’est pas bon marché non plus, il s’en faut de beaucoup — on ferait peut-être bien s’en rendre compte dans l’enseignement secondaire qui ne roule pas sur l’or …
P.S. Pour être complet, je dois préciser que j’utilise parfois d’autres logiciels, comme Mathematica ou Grapher, qui ont de belles capacités graphiques également mais sur lesquelles on a moins de contrôle. P. L., ajouté le 25 janvier 2012.
__________
(*) J’aime bien cette dénomination, qui désigne des logiciels de calculs formels. Je l’ai apprise de P. Dupont, fidèle visiteur de ce blog.
coupe les côtés d’un triangle 
en des points 
. Par chacun de ceux-ci, on mène une droite qui coupe les côtés auxquels il n’appartient pas en deux points, obtenant au total six points 
situés sur une même conique. 
sont sur une même conique. Manifestement, 
forme avec eux un hexagone dont 
coupant la conique en un point en lequel elle est aussi coupée par 
.
les abscisses affines des points 
par rapport au côté du triangle auquel ils appartiennent, de sorte que 
est la position des parallèles données.
. En voici une illustration :
et une partie de la trajectoire est représentée en vert.
est parallèle à 
. En général, elles comptent six points, qui sont les intersections des côtés du triangle avec des parallèles à ses côtés et qui sont donc situés sur une conique. En l’occurence, c’est une ellipse car la position des parallèles en question est de la forme 
.
(i.e. 
) et les parallèles aux deux autres côtés coupent 
(i. e. 
) :
, 
, ce sont les milieux des côtés et la conique est une ellipse : 
, les sommets 
sont les milieux des côtés du triangle qu’elles forment et la conique est l’ellipse de Steiner de celui-ci.
par rapport à 
, de 
par rapport à 
et de 
sont sur trois parallèles aux côtés de 
. Ils sont donc, en général, sur une conique de même nature que celle passant par 
ont un point en commun. Et, de fait, à l’aide des formules (1) et (2) du billet précédent, on constate facilement que 
dont les coordonnées barycentriques
![[A_+,A_-], [B_+,B_-], [C_+,C_-]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BA_%2B%2CA_-%5D%2C+%5BB_%2B%2CB_-%5D%2C+%5BC_%2B%2CC_-%5D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "[A_+,A_-], [B_+,B_-], [C_+,C_-]")
.
menée par 
et 
![[C,C_+]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BC%2CC_%2B%5D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "[C,C_+]")
et de celui de ![[A,A_-]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BA%2CA_-%5D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "[A,A_-]")
, ce qui prouve (c).
. Ces calculs attribuent un score au point à identifier. Les scores des points répertoriés dans l’encyclopédie sont listés par valeurs croissantes et une simple comparaison du score calculé avec ceux de la liste permet de trancher.
se projette sur 
orthogonalement à 
orthogonalement à 
et 
à la droite 
de la composée de la projection orthogonale sur 
de 
et pour le triangle négatif, dans l’ordre 
désignent les longueurs des côtés du triangle 
et ![\begin{array}{lcl}\overrightarrow{A_+B_+}\cdot\overrightarrow{AB}&=&\left(-\lambda\overrightarrow{AC}+(1-\mu)\overrightarrow{AB}\right)\cdot\overrightarrow{AB}\\[1ex]&=&\frac{c^2}{s^2}\left(-2bc\cos\hat A+b^2+c^2-a^2\right)\\[1ex]&=&0\end{array}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7D%5Coverrightarrow%7BA_%2BB_%2B%7D%5Ccdot%5Coverrightarrow%7BAB%7D%26%3D%26%5Cleft%28-%5Clambda%5Coverrightarrow%7BAC%7D%2B%281-%5Cmu%29%5Coverrightarrow%7BAB%7D%5Cright%29%5Ccdot%5Coverrightarrow%7BAB%7D%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%26%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7Bs%5E2%7D%5Cleft%28-2bc%5Ccos%5Chat+A%2Bb%5E2%2Bc%5E2-a%5E2%5Cright%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%260%5Cend%7Barray%7D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "\begin{array}{lcl}\overrightarrow{A_+B_+}\cdot\overrightarrow{AB}&=&\left(-\lambda\overrightarrow{AC}+(1-\mu)\overrightarrow{AB}\right)\cdot\overrightarrow{AB}\\[1ex]&=&\frac{c^2}{s^2}\left(-2bc\cos\hat A+b^2+c^2-a^2\right)\\[1ex]&=&0\end{array}")
sont isométriques. Plus précisément, ils sont semblables au triangle 
, on obtient ![\begin{array}{lcl}\|A_+B_+\|^2&=&k^2c^2\\[1ex] &=&\|AA_+\|^2-\|AB_+\|^2\\[1ex] &=&\lambda^2\|AC\|^2-(1-\mu)^2\|AB\|^2\\[1ex] &=&\frac{4c^2}{s^4}b^2c^2\sin^2\hat A\\[1ex] &=& c^2\left(4\frac{\mathrm{aire}(ABC)}{a^2+b^2+c^2}\right)^2\end{array}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7D%5C%7CA_%2BB_%2B%5C%7C%5E2%26%3D%26k%5E2c%5E2%5C%5C%5B1ex%5D+%26%3D%26%5C%7CAA_%2B%5C%7C%5E2-%5C%7CAB_%2B%5C%7C%5E2%5C%5C%5B1ex%5D+%26%3D%26%5Clambda%5E2%5C%7CAC%5C%7C%5E2-%281-%5Cmu%29%5E2%5C%7CAB%5C%7C%5E2%5C%5C%5B1ex%5D+%26%3D%26%5Cfrac%7B4c%5E2%7D%7Bs%5E4%7Db%5E2c%5E2%5Csin%5E2%5Chat+A%5C%5C%5B1ex%5D+%26%3D%26+c%5E2%5Cleft%284%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Baire%7D%28ABC%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%7D%5Cright%29%5E2%5Cend%7Barray%7D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "\begin{array}{lcl}\|A_+B_+\|^2&=&k^2c^2\\[1ex] &=&\|AA_+\|^2-\|AB_+\|^2\\[1ex] &=&\lambda^2\|AC\|^2-(1-\mu)^2\|AB\|^2\\[1ex] &=&\frac{4c^2}{s^4}b^2c^2\sin^2\hat A\\[1ex] &=& c^2\left(4\frac{\mathrm{aire}(ABC)}{a^2+b^2+c^2}\right)^2\end{array}")
en effectuant le calcul pour le triangle négatif.
appartiennent à un même cercle et d’en déduire une construction des triangles auto-projetants.
par rapport au segment ![[P,Q]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BP%2CQ%5D&bg=ffffff&fg=494949&s=0 "[P,Q]")
est l’unique nombre 
tel que 
ne jouera aucun rôle en soi mais j’aime conserver une certaine homogénéité aux formules.
sont droits. Le triangle 
sont aigus, alors on peut le déplacer de façon à placer 
sur les demi-droites 
.
n’est pas dérivable en 
…
, les triangles 
et 
ont même aire. La réponse est oui, et on peut en donner plusieurs vérifications, de la plus élémentaire à la plus sophistiquée. J’en propose trois, ci-dessous. Les deux premières répondent strictement à la question. L’une est rapide mais difficile et l’autre est élémentaire. La dernière repose sur une information générale qui explique bien, et facilement, l’origine du résultat.
les aires des triangles considérés sont évidemment égales. Considérons donc un triangle 
. Il existe une affinité transformant 
en 
de 
en le centre de gravité 
. Elle transforme donc les triangles 
, etc. en leurs homologues 
, etc. En général, une affinité ne conserve pas les aires. Elle conserve par contre les rapports entre deux aires. En particulier, deux figures de même aire sont transformées en deux figures d’aires égales. D’où la conclusion : les aires des triangles 
et 
des triangles 
sont entre elles comme 
et 
car les triangles 
et 
sont semblables. Les aires des triangles 
sont donc également entre elles comme 
. Lorsque 
est le centre de gravité 
d’un point 
et
l’aire orientée d’un ensemble 
, il vient
à celle du triangle 
.
, celui d’une métrique est le groupe des isométries, plus exactement celui, 
, des matrices orthogonales de dimension 
. Pour les aires, volumes, etc. il s’agit du groupe unimodulaire(*), formé des matrices carrées de déterminant égal à 
. Il est strictement intercalé entre les deux précédents :
des matrices de déterminant égal à 1 qui est le groupe de structure permettant de définir des aires, volumes, etc. orientés. Je ne connais pas de notation officielle pour le groupe dont je parle ici. Nous le noterons donc, de façon purement ponctuelle et locale, 
.
et 
d’un triangle 
.
obtenue dépend uniquement de l’entier 
:
, alors elle est vraie lorsque 
la première étape d’une suite de décompositions de 
Les suivantes donnent des suites de décompositions de 
et de 
Ainsi 
sont strictement plus petits que 
. Ceci ne découle pas formellement des règles du tour de magie mais présente par ailleurs l’avantage de régler la phase d’initialisation de la récurrence — le cas de base comme on dit souvent.
, comme c’est souvent le cas dans les illustrations de la méthode de démonstration par induction.
carrés. La première étape 
d’une suite de décompositions de 
que l’on interprète comme l’aire d’une partie rectangulaire du carré (en brun sur l’exemple). Les étapes suivantes ajoutent des aires de rectangles accolés aux côtés de ceux déjà construits. Dans l’exemple, 
a été décomposé en 2+2, ce qui rajoute les quatre carrés dessinés en bleu. Le processus ce poursuit jusqu’à obtenir tous les carrés situés au-dessus de la diagonale principale, en nombre 
