Blog de Pierre Lecomte

4 mars 2010

L’inégalité de Cauchy-Schwarz II

Filed under: Elémentaire,Enseignement — Pierre Lecomte @ 4:49

J’ai signalé, dans un commentaire à ce texte, ma préférence pour une démonstration de l’égalité de Cauchy-Schwarz basée sur une propriété élémentaire des nombres complexes.

Cette opinion repose sur le fait qu’en réalité, l’inégalité est, d’un certain point de vue, une propriété des espaces euclidiens de dimension 2(*).

Supposons en effet que l’inégalité de Cauchy-Schwarz soit établie pour les espaces de dimension 2. Elle l’est alors pour tout espace vectoriel E de dimension quelconque, finie ou non. De fait, la vérifier pourx,y\in E revient à l’appliquer dans un sous-espace vectoriel V de dimension 2 de E contenant ces éléments et muni de la restriction du produit scalaire de E.

CS

Vérifions l’inégalité lorsque E est de dimension 2. Notons (a,b) et (c,d) les composantes d’éléments x,y \in E dans une base orthonormée et posons z=a-ib et z'=c+id. La partie réelle du produit zz' est alors le produit scalaire x\cdot y tandis que sa partie imaginaire est(**)

\omega(x,y)=\det\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}

En élevant au carré l’égalité |zz'|=|z||z'|, il vient donc

(x\cdot y)^2+\omega(x,y)^2=\|x\|^2\|y\|^2

et l’inégalité en découle immédiatement, en ce compris les cas d’égalité puisque \omega(x,y) est nul si, et seulement si, x,y sont linéairement dépendants.

Naturellement, ceci repose sur l’existence de bases orthonormées. Mais en dimension 2, il est très simple d’en construire, par exemple en utilisant le fait que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. Ainsi, une base quelconque (u,v) dont les éléments sont de longueur 1 nous donne une base orthonormée

(\frac{u'}{\|u'\|},\frac{v'}{\|v'\|})

u'=u+v \quad \& \quad v'=u-v

__________
(*) Par hypothèse, un espace euclidien est réel.
(**) La forme bilinéaire \omega est la forme symplectique standard de \mathbb C.

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5 commentaires »

  1. Voici comment je vois l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

    Pour demontrer l’inegalite de Cauchy-Schwarz, on se ramene par homogeneite au cas ou y est un vecteur de norme 1. Soit h le projete orthogonal de x sur la droite engendree par y. On demontre l’existence de h de la facon suivante : on cherche h de la forme ty de sorte que x-h et y soient orthogonaux, ce qui donne
    0 = (x-h).y = (x-ty).y = x.y-t, donc on trouve t = x.y
    (ceci correspond donc bien a la definition du produit scalaire que j’avais apprise au lycee).
    On a (Pythagore) : ||x||^2 = ||h||^2 + ||x-h||^2 = (x.y)^2 + ||x-h||^2
    ce qui montre que |x.y| =< ||x||, et donc x.y == 0.

    Reciproquement, si on a x = ty avec t >= 0 alors x.y = t ||y||^2 = ||x|| ||y||.

    Remarque : bien entendu, cette demonstration est une reformulation de celle utilisant le trinome du second degre puisque l’expression ||x-ty||^2 est minimum precisement lorsque ty est le projete orthogonal de x sur la droite Ry, mais elle presente l’avantage que l’on y « voit » quelque chose.

    Commentaire par JLT — 4 mars 2010 @ 8:51 | Répondre

    • P.S. Il y a une faute de frappe. Il faut remplacer la ligne 10 par :

      ce qui montre que |x.y| =< ||x||, et donc x.y =< ||x||

      Commentaire par JLT — 4 mars 2010 @ 8:55 | Répondre

  2. Naturellement, les démonstrations valables dans un espace quelconque s’appliquent à la dimension 2.

    Ici, je voulais souligner le fait que l’inégalité est vraie si et seulement si elle l’est en dimension 2 et, qu’en dimension 2, elle se ramène à une identité particulièrement simple et utile :

    (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

    Commentaire par Pierre Lecomte — 5 mars 2010 @ 10:29 | Répondre

  3. Je voudrais une démonstration plus appropriée à la statistique descriptive (sommation)

    Commentaire par FRANCKIE — 8 janvier 2014 @ 2:05 | Répondre

    • Malheureusement, je ne sais pas trop de quoi il s’agit.
      Peut-être l’identité de Lagrange

      (\sum_{i=1}^nx_i^2)(\sum_{j=1}^ny_j^2)=(\sum_{i=1}^nx_iy_i)^2+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_iy_j-x_jy_i)^2

      de laquelle l’inégalité de Cauchy Schwarz découle immédiatement, pour autant qu’on sache qu’il existe des bases orthonormées, vous conviendrait mieux?

      Commentaire par Pierre Lecomte — 8 janvier 2014 @ 2:41 | Répondre


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