Polygones affines réguliers et billards extérieurs elliptiques III

1 décembre 2010 — Pierre Lecomte

Voici une jolie propriété intimement liée aux polygones réguliers affines dont j’ai parlé dans ce billet. Nous nous plaçons dans un plan affine réel.

Soient un triangle $ABC$ , un nombre $s\neq -1$ et le point $D=A-sB+sC$ . Il existe une seule conique $\mathcal C_s$ qui est tangente aux segments $[A,B], [B,C]$ et $[C,D]$ en leurs milieux. C’est une ellipse lorsque $-1<s<3$ , une parabole quand $s=3$ et une hyperbole sinon. Elle est invariante sous l'action de l'affinité $\mathcal T_s$ définie par

$\mathcal T_s(A)=B, \mathcal T_s(B)=C, \mathcal T_s(C)=D$

Voici une façon de le prouver. La conique cherchée, dont l’unicité est a priori évidente, appartient au faisceau des coniques tangentes aux côtés $AB$ et $CD$ en leurs milieux respectifs $P, Q$ . Montrons que c’est celle qui passe par le milieu $R$ du segment $[C,D]$ . Un peu de calcul donne facilement une équation de celle-ci dans le repère pour lequel les coordonnées de $A,B,C$ sont respectivement $(0,0), (1,0), (0,1)$ :

$f(x,y)\equiv x^2+(s+1)xy+(s+1)y^2-x-(s+1)y+\frac 1 4 =0$

Dans le même repère, l’affinité $\mathcal T_s$ est représentée par la transformation

$\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&-x-(s+1)y+1\\y'&=& x+sy\end{array}\right.$

On constate par inspection directe que $f(x',y')=f(x,y)$ . Ainsi, la conique d’équation $f=0$ est invariante par $\mathcal T_s$ . En particulier, elle est tangente à $CD$ : c’est donc bien $\mathcal C_s$ dont la nature se déduit par ailleurs immédiatement de $f$ .

La proposition est donc établie.

La conique $\mathcal C_0$ n’est autre que l’ellipse de Steiner du triangle $ABC$ dont j’ai donné une propriété étonnante ici.

Avec les mêmes données que dans la proposition précédente, formons la suite de points $A_i$ obtenue en itérant $\mathcal T_s$ ou, cela revient au même, par la récurrence

$\left\{\begin{array}{l}A_{i+3}=A_i-sA_{i+1}+sA_{i+2}\\ A_1=A,A_2=B,A_3=C\end{array}\right.$

Comme illustré sur la figure ci-dessus où sont tracés les dix premiers points $A_i$ , un fait remarquable découle de l’invariance de $\mathcal C_s$ par $\mathcal T_s$ :

La conique $\mathcal C_s$ est tangente à chaque segment $[A_i,A_{i+1}]$ en son milieu.

Voici une autre manifestation de ce phénomène :

Comme on a pu le constater, les points $A_i$ sont généralement tous distincts. Il peut néanmoins arriver que l’on ait $A_n=A_1$ pour un certain indice $n$ . La suite est alors périodique de période $n$ et décrit un polygone affine régulier, tel par exemple cet heptagone

Ces “dégénérescences” de la suite des $A_i$ arrivent précisément en les valeurs de $s$ dont j’ai abondamment parlé récemment, à savoir les nombres de la forme $z+\bar z+1$ , où $z$ est une racine primitive de l’unité.

Publié dans Mathématique. 1 commentaire »

Pierre Lecomte dit :
2 décembre 2010 à 4:09

Il est facile de voir que, lorsque $s\neq -1,3,$ $\mathcal T_s$ fixe le centre de $\mathcal C_s$ et qu’il commute avec toutes les homothéties ayant ce point pour centre.

Une de ces homothéties applique un point de $\mathcal C_s$ sur $A$ . Dès lors, les points $A_i$ sont situés sur une conique homothétique à $\mathcal C_s$ et qui est stabilisée par $\mathcal T_s$ .

On retrouve en particulier le faits que les polygones affines réguliers sont inscrits à des ellipses.

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