Triangle et projection orthogonale : les triangles auto-projetants II

7 janvier 2012 — Pierre Lecomte

Ce billet est la suite du précédent dont j’adopte les notations.

Les principaux faits que nous allons mettre en évidence sont bien résumés sur le dessin suivant.

Tout d’abord, les deux triangles auto-projetants sont homologiques car leurs côtés sont parallèles deux à deux. D’après le théorème de Desargues, les droites $A_+A_-, B_+B_-, C_+C_-$ ont un point en commun. Et, de fait, à l’aide des formules (1) et (2) du billet précédent, on constate facilement que

(a) Le point $L$ dont les coordonnées barycentriques
relativement au triangle $ABC$ sont

$\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2},\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2},\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\right)$

est le milieu des segments $[A_+,A_-], [B_+,B_-], [C_+,C_-]$ .

Ensuite,

(b) Les sommets des triangles auto-projetants sont situés sur un cercle de centre $L$ .

Ceci résulte de ce que

(c) Les parallèles aux côtés du triangles $ABC$ menées par $L$ sont les médiatrices des triangles auto-projetants.

Vérifions par exemple que la parallèle à $AC$ menée par $L$ est une médiatrice des deux triangles auto-projetants. Un point quelconque de cette droite s’écrit

$L+t\overrightarrow{AC}=(\frac{\mu}{2}-t)A+\frac{\nu}{2}B+(\frac{\lambda}{2}+t)C$

Ses intersections avec $BC$ et $AB$ sont les points

$\frac{\nu}{2}B+(1-\frac{\nu}{2})C \quad \& \quad (1-\frac{\nu}{2})A+\frac{\nu}{2}B$

D’après les formules (1) et (2) du billet précédent, il s’agit du milieu de $[C,C_+]$ et de celui de $[A,A_-]$ , ce qui prouve (c).

Construction des triangles auto-projetants

Vu ce qui précède, on pourra très facilement construire les deux triangles auto-projetants dès qu’on saura construire le point $L$ .

Il se fait que c’est un point célèbre mais, ne disposant que de ses coordonnées barycentriques, je ne l’ai pas reconnu tout de suite. Je vais vous raconter comment je l’ai identifié car c’est amusant et instructif.

Il existe quantité de points remarquables associés à un triangle et Clark Kimberling en a recensés plus de trois mille qu’il a regroupés ici : Encyclopedia of Triangle centers. Ce site dispose d’un moteur de recherche original qui permet de tester si un point de coordonnées barycentriques connues figure dans l’encyclopédie et de l’identifier le cas échéant. Il faut pour cela faire des calculs pour un triangle pour lequel $(a,b,c)=(6,9,13)$ . Ces calculs attribuent un score au point à identifier. Les scores des points répertoriés dans l’encyclopédie sont listés par valeurs croissantes et une simple comparaison du score calculé avec ceux de la liste permet de trancher.

Le score de $L$ est 0,992908495065669825. Il figure dans la liste et correspond au point X(6) de l’encyclopédie. On l’appelle point de Lemoine du triangle. C’est l’intersection des symédianes, c’est-à-dire des symétriques des médianes par rapport aux bissectrices intérieures du triangle. Il est donc très facile à construire, de même dès lors que les triangles auto-projetants, ce qui m’a permis d’illustrer ce billet et le précédent…

Publié dans Mathématique. 4 Commentaires »

PB dit :
8 janvier 2012 à 9:49

Je ne pensais pas que le problème initial déboucherait sur quelque chose d’aussi chouette.

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Pierre Lecomte dit :
8 janvier 2012 à 10:21
Merci! Moi non plus du reste! Il y a encore d’autres choses à raconter sur la question. J’y reviendrai plus tard, après avoir mieux compris ce qu’il se passe.

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P. Dupont dit :
10 janvier 2012 à 8:23

Aussi chouette, aussi chouette…
Avec le point de Lemoine, un premier doigt est mis dans l’engrenage de la triangologie, qui est une secte. Bientôt, il faudra faire du porte à porte pour fourguer aux honnêtes citoyens des brochures pieuses ou des fleurs de Bach.
Bon, j’exagère, mais les 3000 points de Kimberling me donnent des boutons. Pourtant, le problème de PB avait une bonne tête…

Pierre Lecomte dit :
10 janvier 2012 à 11:11
Mais non, mais non! On ne m’aura pas avec la triangologie! Par contre, grâce à la compilation de Kimberling, j’ai pu non seulement identifier le point $L$ , ce qui en soi n’est pas important s’il s’agit seulement de le nommer, mais surtout le construire et donc atteindre mon objectif initial : construire les triangles dont l’existence est établie par PB, ce qui n’était pas trivial, de prime abord.

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