Au début, j’utilisais Cabri Géomètre mais je l’ai abandonné depuis plus d’un an, au profit de GeoGebra.

Il y a plusieurs raisons à cela.

D’abord, les tracés de courbes (lieux, graphes de fonctions, coniques, etc.) me semblent de bien meilleure qualité sur GeoGebra que sur Cabri Géomètre. Vous pouvez le constater, par exemple, en comparant le tracé d’ellipse réalisé par ce dernier ici ou encore là avec ceux réalisés par GeoGebra dans ce billet.

Ensuite, GeoGebra possède bien davantage de primitives que Cabri Géomètre (du moins dans les versions que je possède).

Mais, au-delà de ces considérations relativement subjectives, GeoGebra présente un indéniable atout que ne possède pas, à ma connaissance, Cabri Géomètre, celui de pouvoir exporter des figures sous différents formats compatibles avec .

J’utilise pour ma part l’exportation au format TikZ : une figure étant réalisée avec GeoGebra, je l’exporte dans ce format. Cela fournit une source facile à retravailler, sans être un expert en TikZ (ce que je ne suis effectivement pas). On peut ainsi modifier à sa guise les noms des objets, leurs positions, etc. et corriger la mise en page en vue de diverses utilisations.

Lorsque je rédige un document intégralement via , j’insère simplement le code modifié à la bonne place dans la source du document après avoir fait les déclarations de packages d’usage.

Mon blog n’implémentant pas ceux-ci, un travail supplémentaire est nécessaire. En l’occurrence, j’utilise le logiciel “Aperçu” d’Apple : la source est utilisée pour produire un document au format pdf; avec Aperçu je sélectionne la portion utile de l’image que je sauve au format png (avec une bonne résolution); ensuite, je modifie éventuellement la taille du dessin en fonction de sa destination — pour ce blog, il est préférable de ne pas dépasser quelques cm en longueur comme en largeur — puis je l’insère dans le billet.

P.S. Je n’aime pas trop ce genre de polémique mais je tiens cependant à souligner le fait que GeoGebra est un logiciel libre, ce que n’est pas Cabri Géomètre qui, sans être excessivement onéreux comme le sont certains esclaves(*), n’est pas bon marché non plus, il s’en faut de beaucoup — on ferait peut-être bien s’en rendre compte dans l’enseignement secondaire qui ne roule pas sur l’or …

P.S. Pour être complet, je dois préciser que j’utilise parfois d’autres logiciels, comme Mathematica ou Grapher, qui ont de belles capacités graphiques également mais sur lesquelles on a moins de contrôle. P. L., ajouté le 25 janvier 2012.
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(*) J’aime bien cette dénomination, qui désigne des logiciels de calculs formels. Je l’ai apprise de P. Dupont, fidèle visiteur de ce blog.

C’est en pensant aux coniques déterminées par des parallèles aux côtés d’un triangle que j’en suis venu à la tracer. Elle illustre une généralisation de la propriété (1) du billet en question. Tout est très élémentaire et résulte d’une application immédiate du théorème de l’hexagramme mystique de Pascal mais cela a au moins l’avantage de fournir un éclairage particulier à une propriété des triangles auto-projetants.

La situation est celle-ci. Une droite coupe les côtés d’un triangle en des points . Par chacun de ceux-ci, on mène une droite qui coupe les côtés auxquels il n’appartient pas en deux points, obtenant au total six points situés sur une même conique.

Lorsque est la droite impropre du plan du triangle, sont les directions de ses côtés et la propriété se ramène à l’énoncé (1) du billet précédent.

Voici la preuve. Les points sont sur une même conique. Manifestement, forme avec eux un hexagone dont est la droite de Pascal et est donc situé sur la conique en question, la droite coupant la conique en un point en lequel elle est aussi coupée par .

Il s’agit en fait d’une manifestation particulière d’un phénomène affine général lié aux parallèles aux côtés d’un triangle(*). Comme l’illustre la figure qui suit,

(1) Si des parallèles aux côtés d’un triangle, distinctes de ceux-ci, les coupent selon six points, ils appartiennent à une conique.

Il est facile de préciser la nature de la conique en question. Avec les notations de la figure, désignons par les abscisses affines des points par rapport au côté du triangle auquel ils appartiennent, de sorte que

Nous dirons que est la position des parallèles données.

Cela posé,

La conique passant par les points est alors une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon que

est positif, nul ou négatif.

Par exemple, c’est une parabole lorsque la position est . En voici une illustration :

Un second exemple provient d’une sorte de billard associé au triangle. On part d’un point d’un côté puis les réflexions se font en suivant des parallèles aux côtés du triangle, comme suggéré sur ce dessin :

dans lequel le point de départ est et une partie de la trajectoire est représentée en vert.

Toutes les orbites son fermées. On constate en effet facilement que est parallèle à . En général, elles comptent six points, qui sont les intersections des côtés du triangle avec des parallèles à ses côtés et qui sont donc situés sur une conique. En l’occurence, c’est une ellipse car la position des parallèles en question est de la forme .

Une orbite peut compter moins de points, ce qui arrive si le point de départ est un sommet ou le milieu d’un côté, situations qui relèvent des cas limites décrits ci-dessous.

Cas limites

Voyons ce qu’il advient de l’énoncé (1) lorsque les parallèles coupent les côtés du triangle en moins de six points.

Quand une parallèle à un côté passe par le sommet opposé, les deux points en lesquels elle coupe les autres côtés sont confondus et les six points considérés se réduisent à cinq. Le fait qu’ils soient sur une même conique est une banalité. Il se fait, ce qui n’est pas banal, que celle-ci est tangente à la parallèle en question.

De même, il se peut que les deux points en lesquels les parallèles coupent un même côté soient confondus. La conique passant par les cinq points restants est alors tangente à ce côté.

Les deux phénomènes peuvent coexister ou se présenter pour plus d’une parallèle et plus d’un côté. Il y a alors moins de cinq points auxquels on impose d’appartenir à une conique, et une infinité de coniques répondant à la question. Mais dans chaque cas, il y en a une seule qui passe par les points considérés et qui est tangente aux parallèles passant par un sommet ou aux côtés coupés en un seul point.

Voici un exemple, dans lequel la parallèle à passe par (i.e. ) et les parallèles aux deux autres côtés coupent en (i. e. ) :

Lorsque , et , ce sont les milieux des côtés et la conique est une ellipse : l’ellipse de Steiner du triangle .

Lorsque la position des parallèles est , les sommets sont les milieux des côtés du triangle qu’elles forment et la conique est l’ellipse de Steiner de celui-ci.

Les symétriques de par rapport à , de par rapport à et de par rapport à sont sur trois parallèles aux côtés de correspondant aux abscisses affines . Ils sont donc, en général, sur une conique de même nature que celle passant par .

On pouvait donc prédire que les sommets des triangles auto-projetants se trouvent sur un même conique sans pour autant préciser, cela dit, qu’il s’agit cercle.

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(*) Les preuves des affirmations qui suivent sont aisées. Je les omets.

Les principaux faits que nous allons mettre en évidence sont bien résumés sur le dessin suivant.

Tout d’abord, les deux triangles auto-projetants sont homologiques car leurs côtés sont parallèles deux à deux. D’après le théorème de Desargues, les droites ont un point en commun. Et, de fait, à l’aide des formules (1) et (2) du billet précédent, on constate facilement que

(a) Le point dont les coordonnées barycentriques
relativement au triangle sont

est le milieu des segments .

Ensuite,

(b) Les sommets des triangles auto-projetants sont situés sur un cercle de centre .

Ceci résulte de ce que

(c) Les parallèles aux côtés du triangles menées par sont les médiatrices des triangles auto-projetants.

Vérifions par exemple que la parallèle à menée par est une médiatrice des deux triangles auto-projetants. Un point quelconque de cette droite s’écrit

Ses intersections avec et sont les points

D’après les formules (1) et (2) du billet précédent, il s’agit du milieu de et de celui de , ce qui prouve (c).

Construction des triangles auto-projetants

Vu ce qui précède, on pourra très facilement construire les deux triangles auto-projetants dès qu’on saura construire le point .

Il se fait que c’est un point célèbre mais, ne disposant que de ses coordonnées barycentriques, je ne l’ai pas reconnu tout de suite. Je vais vous raconter comment je l’ai identifié car c’est amusant et instructif.

Il existe quantité de points remarquables associés à un triangle et Clark Kimberling en a recensés plus de trois mille qu’il a regroupés ici : Encyclopedia of Triangle centers. Ce site dispose d’un moteur de recherche original qui permet de tester si un point de coordonnées barycentriques connues figure dans l’encyclopédie et de l’identifier le cas échéant. Il faut pour cela faire des calculs pour un triangle pour lequel . Ces calculs attribuent un score au point à identifier. Les scores des points répertoriés dans l’encyclopédie sont listés par valeurs croissantes et une simple comparaison du score calculé avec ceux de la liste permet de trancher.

Le score de est 0,992908495065669825. Il figure dans la liste et correspond au point X(6) de l’encyclopédie. On l’appelle point de Lemoine du triangle. C’est l’intersection des symédianes, c’est-à-dire des symétriques des médianes par rapport aux bissectrices intérieures du triangle. Il est donc très facile à construire, de même dès lors que les triangles auto-projetants, ce qui m’a permis d’illustrer ce billet et le précédent…

Dans cette figure, se projette sur orthogonalement à , se projette sur orthogonalement à , etc. : l’ordre des côtés du triangle selon lequel se font les projections successives est l’ordre correspondant au sens trigonométrique, ce qu’on a manifesté en indiçant par “+” les points choisis. Par ailleurs, les triangles et sont semblables car ils ont leurs angles deux à deux à côtés perpendiculaires ; les noms des sommets ont été choisis de manière telle que les angles en des sommets désignés par la même lettre soient égaux.

Faute de mieux, un triangle, tel que , répondant aux conditions, sera dit auto-projetant.

Il y en a naturellement deux, à raison d’un par sens de rotation dans le plan du triangle . Ci-dessous, nous désignerons le second en indiçant ses sommets par “-”, avec la même convention relative à leurs noms. Il sera dit négatif par opposition au précédent que nous dirons être positif.

La preuve de l’existence et de l’unicité de ces triangles donnée par PB est remarquable d’élégance. Je l’exposerai ci-dessous. Comme elle est purement existentielle, je me suis naturellement demandé comment les construire. C’est une solution de ce problème que je vous convie à découvrir.

Comme d’habitude, j’y consacrerai plusieurs billets, afin de garder des articles de tailles raisonnables.

Existence et unicité : la méthode de PB

Afin de compter les triangles auto-projetant positifs, on considère la restriction à la droite de la composée de la projection orthogonale sur suivie de celle sur puis de celle sur . (Les notations sont celles de la figure ci-dessus.)

Clairement, les sommets appartenant à des triangles auto-projetants positifs sont les points fixes de . Nous allons voir qu’il n’y en a qu’un.

Les projections orthogonales étant des affinités, en est une aussi. De plus, la projection orthogonale d’une droite sur une autre multipliant les longueurs par le cosinus de l’angle entre les deux droites, transforme un segment de longueur de en un segment de longueur

Ainsi, n’est pas une isométrie(*). Il admet donc un point fixe, et un seul (sans quoi ce serait l’identité donc une isométrie). D’où la conclusion étant entendu que la même méthode s’applique aux triangles auto-projetant négatifs.

Les sommets des triangles auto-projetants

Je vais à présent donner les abscisses affines(**) des sommets des triangles auto-projetants calculées par rapport aux côtés auxquels ils appartiennent. Curieusement, elles sont plus simples à exprimer en ordonnant les sommets du triangle initial dans le sens opposé à celui choisi pour ordonner les projections orthogonales. Pour le triangle positif, on suit les sommets dans l’ordre et pour le triangle négatif, dans l’ordre .

Ci-dessous, désignent les longueurs des côtés du triangle opposés respectivement à et on pose(***)

ainsi que

Avec ces notations, les triangles auto-projetants de sont donnés par

(1)

et

(2)

Les vérifications sont faciles. Je ne vais pas les faire toutes explicitement, me limitant à observer que et sont perpendiculaires (on verra ainsi la cause du phénomène; les autres cas s’en déduisent du reste par symétrie). Il vient

en vertu du théorème de Pythagore (dit généralisé).

Première application

Les triangles et sont isométriques. Plus précisément, ils sont semblables au triangle et le rapport de similitude est le même pour les deux, à savoir

En effet, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle , on obtient

et on trouverait la même valeur de en effectuant le calcul pour le triangle négatif.

Les relations (1) et (2) ont d’autres corollaires intéressants. Elles permettent par exemple de montrer que les six points appartiennent à un même cercle et d’en déduire une construction des triangles auto-projetants.

Cela vous sera présenté dans le billet suivant …

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(*) Dans la preuve originale, PB arrivait, plus rapidement, à la conclusion que n’est pas une translation mais il pouvait se baser sur le fait que, dans l’exercice proposé, le triangle est acutangle, ce que nous ne supposons pas ici.

(**) L’abscisse affine d’un point par rapport au segment est l’unique nombre tel que

(***) La longueur ne jouera aucun rôle en soi mais j’aime conserver une certaine homogénéité aux formules.

Montrer que

Les triangles acutangles sont exactement les sections planes d’un trièdre tri-rectangle.

Sur cette figure, les angles en sont droits. Le triangle ayant ses sommets sur les côtés du trièdre, a ses angles aigus. Réciproquement, si les angles d’un triangle sont aigus, alors on peut le déplacer de façon à placer sur les demi-droites .

le nombre de cuivre.

Lorsque la forme d’un rectangle — le rapport de sa longueur à sa largeur — égale ou dépasse ce nombre, on peut reporter sur chaque côté du rectangle à même distance de chaque sommet, “et dans le même sens” (cf. le billet mentionné), des points alignés, ce qu’on ne peut faire pour les autres rectangles. Ceci est illustré sur l’image suivante dans laquelle la forme du rectangle représenté en vert est

C’était pour moi l’occasion d’illustrer de façon frappante le fait qu’une fonction n’atteint pas nécessairement ses extréma absolus en des points stationnaires — des points annulant sa dérivée première — et cela d’autant plus que le phénomène n’apparait que pour des rectangles sensiblement plus longs que larges, de ceux qu’on ne dessine pas spontanément.

Soyons clairs : aucun mathématicien ne soutiendrait le contraire mais, dans l’enseignement secondaire, il arrive que l’on tombe dans ce piège. L’erreur est plus subtile qu’il n’y parait. En effet, il s’agit souvent d’une erreur contre intuitive dans la mise en équation, consistant par exemple à négliger une valeur absolue, ou “barre de module”, ce qui fait une énorme différence car n’est pas dérivable en …

Mais au-delà de ces considérations, voilà que le nombre de cuivre resurgit dans un commentaire à cet article!

C’est sans doute une coïncidence — “purement fortuite” — mais elle m’a frappé!

P.S. L’image et le texte lui correspondant ont été ajoutés le 14 décembre 2011. P.L.

Une première réponse, sophistiquée

L’argument suivant repose sur les propriétés des affinités et sur l’observation, banale, que dans le cas d’un triangle équilatéral les aires des triangles considérés sont évidemment égales. Considérons donc un triangle . Il existe une affinité transformant en respectivement. Elle transforme le centre de gravité de en le centre de gravité de . Elle transforme donc les triangles , etc. en leurs homologues , etc. En général, une affinité ne conserve pas les aires. Elle conserve par contre les rapports entre deux aires. En particulier, deux figures de même aire sont transformées en deux figures d’aires égales. D’où la conclusion : les aires des triangles et sont égales comme le sont les aires des triangles dont ils sont les images.

Une deuxième réponse, élémentaire

Avec les notations de la figure ci-dessus, les hauteurs et des triangles et sont entre elles comme et car les triangles et sont semblables. Les aires des triangles et sont donc également entre elles comme et . Lorsque est le centre de gravité du triangle , cela montre que l’aire de est égale au tiers de l’aire de . Les aires des triangles , etc. sont donc égales.

La dernière réponse: explications

Nous allons utiliser la notion de coordonnées barycentriques. Pour rappel, les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont des nombres tels que et

Etant donné un point , quelconque, on obtient à partir de ses coordonnées barycentriques en faisant subir à la translation de vecteur

Les coordonnées barycentriques de peuvent être calculées en terme de rapports d’aires orientées. En désignant par l’aire orientée d’un ensemble , il vient

Les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont les rapports

des aires orientées des triangles à celle du triangle .

Cette propriété résout immédiatement notre question initiale car les coordonnées barycentriques du centre de gravité d’un triangle par rapport à celui-ci sont .

J’avoue, un peu honteux, avoir ignoré relativement longtemps cette propriété — à présent , ce n’est guère possible, en googlant avec les mots clés coordonnées barycentriques, on obtient facilement des pages web où cela vous est rappelé dès les premiers paragraphes. Une raison est sans doute que la notion d’aire, orientée ou non, n’est pas affine — comme dit plus haut, seuls les rapports de deux aires sont conservés par affinités — et je n’étais donc pas enclin à faire le rapprochement.

Le statut de la notion d’aire en géométrie élémentaire n’est d’ailleurs pas très clair, au niveau de l’enseignement secondaire, voire en début d’études universitaires. On aurait plutôt tendance à la ranger au rayon des notions métriques, ce qu’elle n’est pas. S’il est vrai qu’une métrique définit une mesure canonique, il n’est pas nécessaire d’avoir d’un produit scalaire pour disposer d’une notion d’aire.

Une façon de voir les choses est de comparer les groupes d’invariance associés à chaque structure. En dimension , celui d’une métrique est le groupe des isométries, plus exactement celui, , des matrices orthogonales de dimension . Celui de la structure affine est le groupe linéaire général . Pour les aires, volumes, etc. il s’agit du groupe unimodulaire(*), formé des matrices carrées de déterminant égal à . Il est strictement intercalé entre les deux précédents :

ce qui explique que toute métrique définit une structure unimodulaire(**) mais qu’une telle structure ne provient pas canoniquement d’une métrique ni n’est préservée par toutes les affinités de l’espace affine sur lequel elle est définie.

Les choses sont parfois un peu compliquées…

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(*) Certains réservent ce nom au groupe des matrices de déterminant égal à 1 qui est le groupe de structure permettant de définir des aires, volumes, etc. orientés. Je ne connais pas de notation officielle pour le groupe dont je parle ici. Nous le noterons donc, de façon purement ponctuelle et locale, .
(**) C’est le mot que j’utilise pour la notion d’aire, volume, etc. en dimension quelconque.

Les bissectrices intérieures et d’un triangle se coupent en le point .

Montrer que le triangle est équilatéral si, et seulement si,

Avec 7, on a par exemple les décompositions

et la somme des produits successifs — la somme à deviner — est

Je me suis récemment livré avec mes étudiants à ce petit “tour de magie”, lors une leçon d’introduction à la méthode de démonstration par récurrence. J’étais fort intéressé à découvrir leurs réactions. Passé un petit effet de surprise provoqué par cette façon inhabituelle d’introduire une propriété, ils ont rapidement compris que le tour fonctionne parce que la somme obtenue dépend uniquement de l’entier : Il doit y avoir une formule! se sont-ils exclamés. Je le leur ai confirmé tout en leur demandant de la trouver. La réponse est venue sans tarder, pour ne pas dire a fusé, l’un d’eux ayant aussitôt pensé à la suite particulière de décompositions

laissant ainsi présager que la valeur cherchée est la somme des entiers de 1 à :

(1)

Nous avons alors établi cette égalité, par récurrence sur

La phase d’induction consiste à montrer que

Si l’égalité (1) est vraie pour les valeurs de inférieures à , alors elle est vraie lorsque

Voici comment nous avons vérifié cela. Notons la première étape d’une suite de décompositions de Les suivantes donnent des suites de décompositions de et de Ainsi

Puisque sont strictement plus petits que , il résulte de l’hypothèse de récurrence que

Cette démonstration nous impose de poser . Ceci ne découle pas formellement des règles du tour de magie mais présente par ailleurs l’avantage de régler la phase d’initialisation de la récurrence — le cas de base comme on dit souvent.

La cause est donc entendue.

Ce que je trouve intéressant, méthodologiquement, dans cette démonstration, c’est que la phase d’induction utilise toutes les valeurs plus petites que et pas seulement , comme c’est souvent le cas dans les illustrations de la méthode de démonstration par induction.

Cela dit, voici une explication géométrique de la formule (1). Elle est illustrée dans le dessin suivant pour

On considère un carré pavé avec carrés. La première étape d’une suite de décompositions de donne le produit que l’on interprète comme l’aire d’une partie rectangulaire du carré (en brun sur l’exemple). Les étapes suivantes ajoutent des aires de rectangles accolés aux côtés de ceux déjà construits. Dans l’exemple, a été décomposé en 2+2, ce qui rajoute les quatre carrés dessinés en bleu. Le processus ce poursuit jusqu’à obtenir tous les carrés situés au-dessus de la diagonale principale, en nombre