L’inégalité de Cauchy-Schwarz

L’inégalité de Cauchy-Schwarz

|x\cdot y|\leq \|x\|\|y\|

est souvent démontrée à l’aide d’une propriété du signe du trinôme du second degré, comme par exemple ici, ce que je trouve inutilement sophistiqué. Il existe des preuves plus directes. En voici une qui m’a été signalée sur un forum. Elle a été publiée début janvier dans le Bulletin Vert n° 486 de l’A.P.M.E.P(*). Elle consiste à constater que

(\|x\|y-\|y\|x)^2=2\|x\|\|y\|(\|x\|\|y\|-x\cdot y)

ce qui rend l’inégalité évidente, ainsi que le fait que l’égalité a lieu si et seulement si x, y sont linéairement dépendants!

Je pense que c’est cette preuve que j’utiliserai désormais dans mes cours!

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(*) L’auteur signale qu’il l’a trouvée dans le livre A Hilbert space problem book, P. Halmos, Springer-Verlag, 1982. Sous la forme donnée ici, elle est extraite de Géométrie – Exercices corrigés, conseils, précis de cours, Johan YEBBOU, Vuibert, 1996

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2 réactions sur “L’inégalité de Cauchy-Schwarz

  1. Le professeur qui m’a enseigné l’algèbre linéaire à l’université de Munich devait être un lecteur de Halmos, car il utilisait déjà cette preuve dans son cours les années 1990 !

  2. En fait, si j’utilise cette preuve dans mes cours, ce n’est pas ma préférée.

    Pour moi, on est en présence d’une propriété de la dimension 2, qui est une conséquence triviale du fait que pour tous nombres complexes z et z’, |zz’|=|z||z’|.

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