Le rang des applications antisymétriques

On sait qu’une matrice antisymétrique réelle non singulière est de dimension paire. Ce fait admet une étonnante généralisation, qui m’a été inspirée par une question d’un internaute sur un forum de mathématique: Soit un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps \mathbb{K} et muni d’une forme bilinéaire non dégénérée g. Si la caractéristique de \mathbb{K} est différente de deux, alors les images des endomorphismes antisymétriques de (E,g) sont de dimension paire.

Pour rappel, A est antisymétrique si la forme bilinéaire (x,y)\mapsto g(Ax,y) est antisymétrique.

En caractéristique deux, on peut trouver des applications antisymétriques de rang impair.

Peut-être voudrez-vous prouver cette propriété? Je n’y suis pas parvenu facilement, mais il est vrai que je ne connais pas beaucoup d’algèbre.

6 réflexions sur “Le rang des applications antisymétriques

  1. Soit f la forme bilinéaire antisymétrique f(x,y)=g(Ax,y). Le rang de f est égal au rang de A. De plus, il est bien connu et facile de montrer par récurrence qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, chaque bloc étant nul ou bien égal à

    [ 0 1 ]
    [ -1 0 ]

    • C’est essentiellement ce que je fais. C’est effectivement « facile » quand g est défini positif. C’est un peu plus délicat, me semble-t-il dans le cas général, en raison de la présence d’éléments isotropes.

      • Il n’y a pas besoin de se soucier de l’isotropie pour la forme g. Soient h et k les applications de E dans E* définies par
        h(x) = f(x,.) et k(x)=g(x,.). Par définition, le rang de f est égal à celui de h. Or, h = k o A et k est un isomorphisme donc le rang de f est égal à celui de A. Maintenant, on oublie complètement g et on doit montrer que le rang r de f est pair.

        Le rang de f est égal au rang de la matrice C=[f(e_i,e_j)] pour toute base B=(e_1,…,e_n) de E (en effet, C est la matrice de h dans les bases B et B*, où B* désigne la base duale de B).

        Quitte à remplacer E par un supplémentaire du noyau N de h, on peut supposer que N={0}, donc f est non dégénérée, ce qui entraîne que det(C) est non nul. Or, C est antisymétrique donc det(C)=det(-C)=(-1)^r det(C), ce qui montre que r est pair.

        [contrairement à ce que j’ai dit plus haut, il n’est même pas nécessaire de « diagonaliser par blocs » la forme alternée].

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