Le vrai visage de l’exponentielle I

Dans un amusant article paru dans le numéro 3 de la revue Losanges (*), La fonction exponentielle, J. Bair et V. Henry présentent divers avatars de la fonction exponentielle. Je vais en proposer un autre, assez étonnant.

Le présent article sert d’introduction, à lire sans trop se préoccuper d’éventuels aspects techniques. Le sujet proprement dit fera l’objet d’un ou deux articles subséquents, utilisant un peu d’analyse des fonctions de plusieurs variables.

Au nombre des avatars présentés par J. Bair et V. Henry, on compte entre autres : fonction réciproque du logarithme, série de puissances, et, chose qui va nous occuper dans ces articles, solution d’une équation différentielle d’ordre 1.

Plus précisément, l’équation

f'=hf,\quad f(0)=1

admet une seule solution maximale, à savoir la fonction

(1) t\mapsto e^{ht}

de domaine \mathbb{R}.

L’exponentielle de matrice peut également être introduite via une série de puissances ou une équation différentielle d’ordre 1. C’est essentiellement la même que ci-dessus mais transposée aux matrices. L’équation (**)

X'=XH, \quad X(0)=I_n

admet une seule solution définie sur \mathbb{R}. Elle dépend de t et de la matrice H par l’intermédiaire de leur produit. On note e^{tH} ou \exp(tH) sa valeur en t.

Plus généralement, il existe une application exponentielle associée à chaque élément d’une vaste famille de groupes, les groupes de Lie. Elle y est également définie par des équations différentielles d’ordre 1 décrites par ce qu’on appelle les champs invariants à gauche du groupe.

En spécialisant celui-ci, on retrouve les exemples précédents et on en découvre d’autres. Avec le groupe des matrices carrées non singulières, on obtient l’exponentielle de matrices. Avec le groupe multiplicatif des réels strictement positif, c’est la fonction (1) qu’on récupère. Pour l’exponentielle complexe, on prend le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Quand à e^{ix}, x\in\mathbb{R} qui est à l’origine de la trigonométrie, on peut l’obtenir directement à partir du cercle S^1, regardé comme groupe des nombres complexes de module 1.

Il est moins connu, et sans doute surprenant, que les applications linéaires t\mapsto ht sont aussi des exponentielles! Elles s’obtiennent en considérant le groupe constitué par l’ensemble des nombres réels muni de l’addition.

Bref, la construction de l’exponentielle sur les groupes de Lie est très générale au point d’englober toutes les exponentielles usuelles.

Cependant, il y a plus général encore et, plus déroutant sans doute vu ce qui précède, l’exponentielle est liée à une classe particulière d’équations différentielles d’ordre 2 dont elle permet de décrire l’ensemble des solutions : les équations isochrones. Le fait qu’elle soit décrite par des équations d’ordre 1 dans le cas des groupes de Lie est une sorte d’accident. Il est dû à la structure de groupe qui donne assez d’intégrales premières pour réduire l’ordre des équations isochrones correspondantes.

Dans les articles suivants (voir ici et ici), je vais présenter quelques propriétés des équations isochrones sur un ouvert de \mathbb{R}^m et montrer les intégrales premières permettant de réduire l’équation isochrone dans le cas du groupe des matrices non singulières.

__________

(*) Il s’agit de la toute nouvelle revue de la S.B.P.M.E.F
(**) On représente la matrice unité de dimension n par I_n.

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