Le vrai visage de l’exponentielle II – Equations isochrones

Considérons une équation différentielle d’ordre 2

(1) \ddot{x}=f(x,\dot{x})

dont le second membre

f:(x,h)\in\Omega\times \mathbb{R}^m\mapsto f(x,h)\in\mathbb{R}^m

est au moins deux fois continûment différentiable, \Omega étant un ouvert de \mathbb{R}^m.

Par définition, cette équation est isochrone si, pour toute solution (I,u) et tout nombre réel c, la fonction(*)

v: t\in \frac 1 cI\mapsto u(ct)\in \mathbb{R}^m

est encore une solution.

Puisque

(2) \dot{v}(t)=c\dot{u}(ct) \quad \&\quad \ddot{v}(t)=c^2\ddot{u}(ct)

cette condition s’écrit encore

c^2f(u(ct),\dot{u}(ct))=f(u(ct),c\dot{u}(ct))

En se plaçant en t=0 et en donnant à u(0) et \dot{u}(0) des valeurs arbitraires, on voit ainsi que l’équation (1) est isochrone si et seulement si

f(x,ch)=c^2f(x,h)

pour tout x\in \Omega, tout h\in \mathbb{R} et tout nombre réel c. Par conséquent(**),

L’équation (1) est isochrone si et seulement si f est un polynôme homogène de degré 2 en h, c’est-à-dire de la forme

f^k(x,h)=\sum_{i,j}A^k_{ij}(x)h^ih^j

Notons u(t,x,h) la solution maximale de (1) telle que

u(0,x,h)=x\quad \&\quad \dot{u}(0,x,h)=h

Les relations (2) donnent

v(0)=x\quad \& \quad \dot{v}(0)=ch

A cause de l’unicité de la solution vérifiant des conditions initiales imposées, on en déduit que

u(ct,x,h)=u(t,x,ch)

En prenant t=1, ceci nous montre que

La solution maximale de (1) vérifiant les conditions initiales u(0)=x et \dot{u}(0)=h ne dépend de t et h que par l’intermédiaire de leur produit.

Les solutions d’une équation isochrone passant par x en t=0 sont donc complètement déterminées dès qu’on connait l’application

\exp_x: h\mapsto u(1,x,h)

On l’appelle l’application exponentielle en x de l’équation dont les solutions prennent donc la forme

t\mapsto \exp_x(th).

Pour un x fixé, \exp_x est défini sur un ouvert \omega_x étoilé en 0 de \mathbb{R}^m et on peut vérifier que

h\in\omega_x\mapsto \exp_x(h)\in \Omega

est un changement de variables régulier entre un voisinage de 0 et un voisinage de x.

Pour les fonctions exponentielles usuelles, liées à des groupes, e^t, etc., le point x est le neutre du groupe.
____________
(*) Si c est nul, alors, par convention,
\frac 1 c I=\mathbb{R}.
(**) Il suffit de dériver la relation précédente deux fois par rapport à c, puis de se placer en c=0.

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