Comme annoncé ici nous allons voir, sur un exemple, comment l’ordre de l’équation définissant la fonction exponentielle peut être réduit de deux à un.
Cet exemple est celui des matrices carrées de dimension . L’équation isochrone correspondante est
(1)
et nous nous intéressons aux solutions vérifiant
(2)
La fonction
est une intégrale première de cette équation.
Ceci qui signifie que quand on évalue cette fonction sur une solution de l’équation et sur sa dérivée
, on obtient une constante.
Pour le vérifier, supposons que soit une solution de (1) et calculons la dérivée(*)
Elle est effectivement nulle si est solution de l’équation (1). Vu (2), cette constante vaut
. Ainsi,
est aussi solution de l’équation
.
La boucle est bouclée! Il y a mille choses à raconter sur cette extraordinaire application exponentielle. Mais la patience de chacun à ses limites!
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(*) En dérivant la relation définissant l’inverse , on obtient aisément :