Le vrai visage de l’exponentielle III – Intégrales premières

Comme annoncé ici nous allons voir, sur un exemple, comment l’ordre de l’équation définissant la fonction exponentielle peut être réduit de deux à un.

Cet exemple est celui des matrices carrées de dimension $n$ . L’équation isochrone correspondante est

(1) $\ddot{X}=\dot{X}X^{-1}\ \dot{X}$

et nous nous intéressons aux solutions vérifiant

(2) $X(0)=I_n \quad \& \quad \dot{X}(0)=H$

La fonction

$F:(X,A)\mapsto X^{-1}A$

est une intégrale première de cette équation.

Ceci qui signifie que quand on évalue cette fonction sur une solution $X$ de l’équation et sur sa dérivée $A$ , on obtient une constante.

Pour le vérifier, supposons que $X$ soit une solution de (1) et calculons la dérivée(*)

$F(X,\dot{X})\ \dot{}=(X^{-1}\dot{X})\ \dot{}=-X^{-1}\dot{X}X^{-1}\dot{X}+X^{-1}\ddot{X}=X^{-1}(\ddot{X}-\dot{X}X^{-1}\ \dot{X})$

Elle est effectivement nulle si $X$ est solution de l’équation (1). Vu (2), cette constante vaut $H$ . Ainsi, $X$ est aussi solution de l’équation

$\dot{X}=XH,\quad X(0)=I_n$ .

La boucle est bouclée! Il y a mille choses à raconter sur cette extraordinaire application exponentielle. Mais la patience de chacun à ses limites!
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(*) En dérivant la relation définissant l’inverse $X^{-1}$ , on obtient aisément :