Sphères inscrite et exinscrites aux simplexes I

D’un certain point de vue, les simplexes sont aux espaces affines de dimension quelconque ce que les triangles sont aux plans affines.

Toute analogie a ses limites mais, concernant les cercles inscrit et exinscrits à un triangle, la transposition est étonnamment simple.

Comme pour beaucoup de sujets sur ce blog, je ne prétends pas être original : j’écris ici ce qui me vient en tête, en espérant que cela soit mathématiquement correct mais sans nécessairement faire de recherche bibliographique.

Dans un espace affine de dimension n, un simplexe est l’enveloppe convexe de n+1 points qui ne sont pas dans un même hyperplan. Ces points sont les sommets du simplexe.

La face du simplexe opposée à un de ses sommets est l’enveloppe convexe des autres sommets. A l’occasion, on doit plutôt considérer l’enveloppe affine de ces derniers mais je manque de vocabulaire pour la désigner. Dans le cas des triangles, on utilise d’ailleurs indifféremment le mot côté pour désigner aussi bien le segment de droite délimité par deux sommets que la droite passant par ceux-ci. Ici, je propose d’appeler face affine l’hyperplan qui contient une face au sens que l’on vient d’introduire.

Dans ces conditions, il y a n+2 sphères simultanément tangentes aux faces affines d’un simplexe de dimension n. Le centre de l’une d’elles, qu’on dira inscrite au simplexe, appartient au simplexe contrairement à ceux des autres sphères, dites exinscrites.

Pour conserver des textes de tailles raisonnables, les vérifications seront présentées dans d’autres articles.

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