Sphères inscrite et exinscrites aux simplexes II

Notons

\Delta= \rangle A_0,...,A_n\langle

le simplexe de sommets A_r et considérons un point

P=\sum_{r=0}^n\sigma_rA_r

Les nombres \sigma_r sont les coordonnées barycentriques de ce point par rapport à \Delta.

Nous allons calculer la distance de P à la face

\mathcal{F}_i=\rangle A_0,...]i[...,A_n\langle

opposée au sommet A_i (les crochets indiquent l’omission). Pour cela, nous utilisons la formule

\delta =\frac{|\overrightarrow{AQ}\cdot\mathbf{u}|}{\|\mathbf{u}\|}

exprimant la distance \delta d’un point Q à l’hyperplan passant par le point A et perpendiculaire à la direction du vecteur \mathbf u.

Pour \mathbf u, nous pouvons prendre le produit vectoriel

\overrightarrow{A_jA_0}\wedge\cdots]i[\cdots\wedge\overrightarrow{A_jA_n}

j\neq i est fixé arbitrairement. La longueur de ce vecteur est alors un multiple de la mesure S_i de \mathcal{F}_i. De façon précise,

\|\mathbf{u}\|=(n-1)!S_i

Nous choisissons A=A_j. Comme les \overrightarrow{A_jA_r},\  r\neq i, sont perpendiculaires à \mathbf{u}, il vient

\overrightarrow{A_jP}\cdot \mathbf{u}=\sigma_i \overrightarrow{A_jA_i}\cdot \mathbf{u}=(-1)^i\sigma_i[\overrightarrow{A_jA_0},...,\overrightarrow{A_jA_n}]

où apparaît le produit mixte des \overrightarrow{A_jA_r}. Or ce dernier est lié à la mesure V de \Delta par la relation

|[\overrightarrow{A_jA_0},...,\overrightarrow{A_jA_n}]|=n!V

Au total, la distance de P à \mathcal{F}_i s’exprime très simplement :

d(P,\mathcal{F}_i)=n\frac{|\sigma_i|}{S_i}V

Pour que P soit équidistant des faces du simplexe, il est donc nécessaire et suffisant que les quotients |\sigma_i|/S_i soient égaux.

Dans le cas particulier où les coordonnées barycentriques de P sont positives, cette condition est satisfaite par un unique point(*), celui pour lequel

\forall i,\quad \sigma_i=\frac{S_i}{S}

S est la somme des mesures des faces du simplexe. Ainsi, tout simplexe admet une unique sphère inscrite. Le rayon de cette sphère est donné par

r=n\frac{V}{S}

V est la mesure du simplexe et S la somme des mesures de ses faces.

______________
(*) La somme des coordonnées barycentriques vaut 1.

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