Sphères inscrite et exinscrites aux simplexes III

Le présent article est la continuation de celui-ci dont nous conservons les notations.

Nous allons examiner la possibilité de construire des sphères exinscrites au simplexe \Delta, c’est-à-dire de trouver des points P équidistants des faces affines du simplexe et dont certaines des coordonnées barycentriques \sigma_i soient négatives.

Géométriquement, une distribution de signe des coordonnées barycentriques détermine une des régions délimitées par les faces affines du simplexe autrement dit, une des composantes connexes du complémentaire de l’union des hyperplans qui contiennent ses faces. Le fait que \sigma_i soit négatif signifie que le sommet A_i et P sont situés de part et d’autre de l’hyperplan contenant la face opposée à A_i.

Supposons P équidistant des faces affines du simplexe: les rapports |\sigma_i|/S_i sont donc égaux. Leur valeur commune \varrho est alors donnée par l’équation

(\sum_{i=0}^n\varepsilon_iS_i)\varrho=1

\varepsilon_i vaut 1 si \sigma_i est positif et -1 s’il est négatif(*).

Il existe donc d’une sphère exinscrite correspondant à une distribution de signe \varepsilon donnée si et seulement si

\sum_{i=0}^n\varepsilon_iS_i > 0

Lorsque cette condition est satisfaite, il n’y a qu’une seule sphère répondant à la question et les coordonnées de son centre sont les nombres

\sigma_i=\frac{\varepsilon_iS_i}{\sum_{j=0}^n\varepsilon_jS_j}

En appliquant ce critère, on voit alors qu’il existe une sphère exinscrite pour chaque distribution de signe \varepsilon dont une seule composante est négative. En effet, on peut démontrer que

S_i < \sum_{j\neq i}S_j

pour chaque i\in\{0,...,n\}, ce que nous ferons dans un article ultérieur. Pour les triangles, ces inégalités sont bien connues. Elles signifient alors que la longueur d’un côté est toujours plus petite que la somme de celles des deux autres côtés.

Le rayon de la sphère exinscrite pour laquelle \varepsilon_i=-1 est la seule composante négative de la distribution de signe est

r_i=n\frac{V}{\sum_{j\neq i}S_j-S_i}

Avec la valeur trouvée dans l’article référencé plus haut pour le rayon r de la sphère inscrite, il est facile de déduire de ceci la relation

\sum_{i=0}^n\frac{1}{r_i}=\frac{n-1}{r}

Je ne connais pas de résultat général pour les sphères exinscrites correspondant aux autres distributions de signe et je ne suis pas certain qu’il existe de tels résultats. Par exemple, il y a des tétraèdres qui n’ont pas de sphères exinscrites dont les centres possèdent deux coordonnées barycentriques négatives. C’est le cas de tous les tétraèdres isocèles (ce sont ceux dont toutes les faces ont même aires). Si, par contre, les quatre aires des faces d’un tétraèdre sont distinctes, alors il possède au moins une telle sphère exinscrite car si on range ces aires par valeurs décroissantes, on a

S_1+S_2 > S_3+S_4

___________
(*) Il n'est pas nul, sans quoi toutes les coordonnées barycentriques de P le seraient.

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