Une inégalité pour les simplexes

Le but de ce texte est de montrer que

La mesure de chaque face d’un simplexe est strictement plus petite que la somme de celles des autres faces.

Cette propriété a été utilisée dans cet article pour montrer l’existence de certaines sphères exinscrites au simplexe.

Considérons un simplexe

\Delta=\rangle A_0,...,A_n\langle

d’un espace \mathcal{E} de dimension n. Nous notons \mathcal {F}_i la face opposée à A_i et S_i sa mesure. Il s’agit donc de prouver que, pour chaque indice i,

S_i<\sum_{j\neq i}S_j

La démonstration est fort simple. Elle repose sur deux observations.

(a) La face \mathcal {F}_i est recouverte par les projections orthogonales \mathcal{F}'_j des autres faces sur l’hyperplan \mathcal{H}_i qui la contient.
(b) La mesure S'_j de \mathcal{F}'_j est strictement inférieure à S_j.

On déduit de la première que

S_i\leq \sum_{j\neq i}S'_j

et la seconde permet immédiatement de conclure.

Le point (b) résulte de ceci : la mesure de la projection orthogonale sur un hyperplan d’une partie d’un hyperplan est le produit de la mesure de cette partie et du cosinus de l’angle des deux hyperplans(*); si ceux-ci ne sont pas parallèles, ce cosinus est strictement plus petit que 1.

La projection \mathcal{F}'_j est l’enveloppe convexe de la projection orthogonale A'_i de A_i sur l’hyperplan \mathcal{H}_i et des points A_k,\ k\neq i,j. Le point (a) résulte alors de la propriété ci-dessous, appliquée au simplexe \mathcal{F}_i de l’hyperplan \mathcal{H}_i et au point A'_i.

Pour ne pas alourdir les notations, je l’énonce dans \mathcal{E} pour le simplexe \Delta et un point A quelconque. Elle tient en cette formule(**) :

\Delta\subset \bigcup_{i=0}^n\rangle A,A_0,...]A_i[...,A_n\langle

Elle est tout à fait évidente et intuitive pour les dimensions un, deux et trois. Il faut cependant en donner une démonstration, ne serait-ce que pour les dimensions supérieures.

Considérons un point P de \Delta. L’intersection de la droite AP et de \Delta est convexe. C’est donc un segment de droite. Les extrémités de ce segment sont situées dans des faces du simplexe. Si ce n’était pas le cas, il y aurait moyen de prolonger le segment au-delà de l’une d’elles car les points du simplexe qui ne sont sur aucune face appartiennent à son intérieur (topologique). Le point P est donc sur un segment de droite joignant A à un point d’une face \mathcal{F}_i, soit

P\in\rangle A,A_0,...]A_i[...,A_n\langle

__________
(*) Cet angle est compris entre 0 et \pi/2. Il est nul si et seulement si les hyperplans sont parallèles.
(**) Le symbole ]A_i[ signifie que le point A_i est omis et les crochets \rangle,\langle désignent l’enveloppe convexe des points qu’ils entourent.

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