Fonctionnelles de Minkowski et Formule de Cauchy-Crofton

Voici quelques ressources mathématiques que j’aime beaucoup auxquelles m’a conduit le problème suivant :

Si un parallélépipède est inclus à un autre, la somme des longueurs des côtés de celui-ci est plus grande ou égale à celle du premier.

Il a été posé il y a peu sur le forum M@th en Ligne où je lui ai donné une réponse reprise et détaillée dans un texte disponible au format pdf ici.

A ce moment, j’étais loin de me douter que ce petit énoncé, en apparence bien innocent, touche indirectement à des domaines variés, très actifs et d’une grande actualité (et que ma solution était probablement connue depuis bien longtemps) :

  • géométries intégrale, riemannienne et symplectique
  • analyse fonctionnelle
  • probabilité et statistique
  • morphologie mathématique
  • théorie de l’information

Ma preuve(*) est essentiellement basée sur un joli résultat concernant les sommes de Minskowski :

Si les e_i sont des convexes compacts de \mathbb{R}^n, alors pour toute distribution de signe des nombres réels \lambda_i la mesure de Lebesgue de(**) \lambda_1e_1+\cdots+\lambda_pe_p est un polynôme homogène de degré n en les \lambda_i.

Je connaissais ce résultat pour l’avoir donné quelques années dans un cours sur l’inégalité isopérimétrique pour les convexes compacts, sans soupçonner pour autant qu’avec l’autre ingrédient utilisé pour établir celle-ci, l’inégalité de Brunn-Minkowski, il faisait partie d’un vaste courant mathématique ayant des implications dans de nombreux domaines théoriques et appliqués.

Je ne pourrais vous parler mieux de l’inégalité de Brunn-Minkowski que F. Barthe dans ce bel article de vulgarisation!
et je ne pourrais le faire plus en détails que dans cette thèse (pdf).

Lorsque p=2 et e_2 est la boule unité b centrée à l’origine, on obtient un polynôme

(1) \mathrm{mes}(e_1+\lambda b)=\sum_{k=0}^n \mu_k(e_1)\lambda^k

Les \mu_k sont les fonctionnelles de Minkowski. Naturellement, \mu_0 est la mesure de Lebesgue et, en raison de la convexité, \mu_n est la mesure de la boule unité. Dans un plan, \mu_1 est le périmètre. Dans un espace de dimension trois, c’est l’aire latérale. Pour les parallélépipèdes rectangles, \mu_2 est, à un coefficient près, la somme des longueurs des côtés. Cet article présente une caractérisation axiomatique particulièrement séduisante de ces fonctionnelles en dimension 3.

Une question récurrente est de savoir si les fonctionnelles de Minkowski sont croissantes pour l’inclusion.
Par exemple, en dimension 3, la croissance de \mu_2 résout immédiatement le problème des parallélépipèdes emboîtés. En outre, la croissance de \mu_1, qui demande malgré tout une vérification formelle, est insidieusement évidente de même que celle de \mu_2 en dimension 3, ce qui nous a valu quelques beaux échanges autour d’une tasse de café en la salle des professeurs de mon département(***)!

Cela dit, je ne connais pas le résultat général. Je sais seulement que sont croissants

  • \mu_0, ce qui est évident
  • \mu_{n-1}, ce qui découle facilement du cas précédent, de la formule (1) et de la valeur de \mu_n
  • \mu_1

Il existe une preuve extrêmement jolie de la croissance de \mu_1. C’est un ami qui me l’a révélée il y a quelques semaines. Elle tient en une ligne. Elle découle en fait immédiatement de ce théorème : La mesure de l’ensemble des droites qui rencontrent un convexe e\subset \mathbb{R}^n est proportionnelle à \mu_1(e), résultat qu’il a remarquablement généralisé dans cette publication (pdf).

Les origines de ce résultat remontent à une formule de Cauchy revisitée ultérieurement dans un contexte probabiliste par Crofton. Cette formule exprime la longueur d’un arc de courbe plan rectifiable par une intégrale double du nombre de rencontres de la courbe avec une droite quelconque du plan. Vous trouverez une formulation rigoureuse et une belle preuve de cette proposition dans l’article La formule de Cauchy sur la longueur d’une courbe, S. Ayari and S. Dubuc, Canad. Math. Bull. Vol. 40 (1), 1997 pp. 3–9. Il contient un résultat de S. Banach vraiment éclairant!

__________
(*) Très élémentaire car je ne l’utilise que pour certains polygones ou polytopes pas trop compliqués, pour lequel il est immédiat, et accessible à l’enseignement secondaire supérieur.
(**) C’est l’ensemble des combinaisons linéaires de mêmes coefficients de points x_i\in e_i.
(***) Le challenge du café : petits défis mathématiques énoncés au tableau de cette salle …

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