Tétraèdres et formule de Héron

Dans un espace affine euclidien de dimension n, la mesure d’un simplexe est donnée par la formule

\frac{1}{n!}u_1\cdots u_n\sqrt{\det(\cos\alpha_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}

où les u_i sont les longueurs des arrêtes issues d’un sommet et les \alpha_{ij} sont les angles qu’elles forment deux à deux.

En dimension 3, on allège les écritures en posant

u_1=u,u_2=v,u_3=w\quad \&\quad \alpha_{23}=\alpha,\alpha_{31}=\beta,\alpha_{12}=\gamma

Le déterminant sous le radical est alors

\det \left(\begin{array}{ccc} 1&\cos\gamma&\cos\beta\\\cos\gamma&1&\cos\alpha\\\cos\beta&\cos\alpha&1\end{array}\right)=1-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma

Il est aisé d’en déduire ce que je me permettrai d’appeler la formule de Héron pour les tétraèdres exprimant le volume à l’aide des longueurs des côtés issus d’un sommet et des angles qu’ils forment :

V=\frac 1 3 uvw \sqrt{\sin\varpi\sin(\varpi-\alpha)\sin(\varpi-\beta)\sin(\varpi-\gamma)}

\varpi=\frac 1 2 (\alpha+\beta+\gamma)

Nous allons en déduire la formule de Héron classique, exprimant l’aire S d’un triangle ABC au moyen des longueurs a,b,c de ses côtés :

(1) S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

p désigne la demi-somme des côtés du triangle ABC.

Pour cela, nous considérons un point P situé sur une demi-droite perpendiculaire au plan du triangle, menée par le centre de son cercle circonscrit, comme illustré sur la figure ci-dessous. Les côtés du tétraèdre PABC issus de ce point sont tous de même longueur

r=\sqrt{h^2+R^2}

h est la distance de P au plan du triangle et R est le rayon du cercle circonscrit de celui-ci.

Le tétrèdre

Pour fixer les notations, \alpha,\beta,\gamma sont les angles en P des triangles isocèles PBC,PCA,PAB et sont opposés respectivement aux côtés de longueurs a,b,c du triangle ABC.

Nous avons alors

a=2r\sin\frac{\alpha}{2}

Il en résulte que \alpha tend vers 0 lorsque h tend vers l’infini et, dès lors, que

\lim_{h\to+\infty}r\alpha=\lim_{h\to+\infty}a\frac{\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=a

Semblablement, r\beta et r\gamma tendent vers b et c. Par suite, pour toute fonction linéaire f de trois variables, nous obtenons

\lim_{h\to+\infty}r\sin f(\alpha,\beta,\gamma)=\lim_{h\to+\infty}rf(\alpha,\beta,\gamma)\frac{\sin f(\alpha,\beta,\gamma)}{f(\alpha,\beta,\gamma)}=f(a,b,c)

pour autant que pour r assez grand, (\alpha,\beta,\gamma) ne soit pas dans le noyau de f. Cette condition est réalisée entre autre lorsque f est l’argument d’un des sinus présents dans l’expression figurant sous le radical dans la formule de Héron pour les tétraèdres puisque le volume de PABC est positif.

Cela étant(*),

S=\frac{3}{h}V=\frac{r^3}{h}\sqrt{\varrho}=\frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}\sqrt{r^4\varrho}

En laissant tendre h vers l’infini, on obtient alors la formule (1) annoncée.

__________
(*) Pour alléger l’écriture, je note \varrho l’expression sous le radical dans la formule de Héron pour les tétraèdres.

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