Le théorème de Rouché-Fontené là où on ne l’attendrait peut-être pas.

Une matrice A\in\mathbb{R}^p_q, l’espace des matrices (réelles) ayant p lignes et q colonnes, est de rang r si elle possède une sous-matrice carrée de dimension r dont le déterminant n’est pas nul et si les déterminants de ses sous-matrices carrées de taille r+1 sont nuls.

Ceux-ci sont généralement assez nombreux et le théorème de Rouché-Fontené en détermine (p-r)(q-r) dont l’annulation suffit à garantir celle des autres.

Pour chaque ensembles d’indices I,J nous noterons A_{IJ} la sous-matrice de la matrice A obtenue en ôtant de celle-ci les lignes dont le numéro ne figure pas dans I et les colonnes dont le numéro ne se trouve pas dans J. De plus, pour simplifier, nous poserons I_i=I\cup \{i\}.

Avec ces conventions, le théorème s’énonce comme ceci. Une matrice A\in\mathbb{R}^p_q est de rang r si et seulement si elle admet une sous-matrice carrée A_{IJ} de taille r dont le déterminant est non nul et si les déterminants des matrices A_{I_iJ_j}, \quad i\notin I, j\notin J, sont nuls.

On appelle ces déterminants les déterminants bordés ou bordants ( j’ai lu les deux). La figure ci-dessous montre de façon schématique une matrice A dans laquelle on a sélectionné une sous-matrice A_{IJ} que l’on a « bordée » avec des éléments des ligne et colonne i, j. Elle est représentée par le carré rosé.

Matrice bordée

Le théorème de Rouché-Fontené est utilisé pour étudier la compatibilité des systèmes d’équations du premier degré, ce que l’on comprend aisément puisque la condition de compatibilité du système Ax+b=0 est l’égalité des rangs des matrices A et (A\  b).

Je vais en présenter un autre usage qui m’a fort surpris lorsque je l’ai découvert en cherchant des exemples de variétés plongées pour illustrer un de mes cours de géométrie.

Il s’avère que l’ensemble \mathcal{M}(p,q,r) des matrices A\in\mathbb{R}^p_q de rang r est une variété de classe C^\infty plongée dans \mathbb{R}^p_q et que le théorème de Fontené-Rouché en donne des équations cartésiennes au voisinage de chaque point(*).

Cet ensemble est recouvert par les ouverts

\Omega_{IJ}=\left\{A\in\mathbb{R}^p_q|\det A_{IJ}\neq 0\right\}

I\subset\{1,...,p\} et J\subset\{1,...,q\} ont r éléments et, en vertu du théorème de Rouché-Fontené,

\mathcal{M}(p,q,r)\cap\Omega_{IJ}=\bigcap_{i\notin I,j\notin J}\left\{A\in\Omega_{IJ}|\det A_{I_iJ_j}=0\right\}

De plus, les gradients des fonctions

A\in\Omega_{IJ}\mapsto \det A_{I_iJ_j}\in\mathbb{R},\quad i\notin I,j\notin J

sont linéairement indépendants en chaque point de cette intersection. Il est amusant d’établir cette propriété aussi ne vais-je pas en donner la preuve. Si le coeur vous en dit, vous en fabriquerez une vous-même.

En attendant, les fonctions en question constituent donc des équations cartésiennes pour \mathcal{M}(p,q,r)! Je trouve ce fait tellement joli que je tenais absolument à vous le raconter.
__________
(*) Pour rappel, des fonctions

f_i:\Omega\to \mathbb{R}, \quad i=1,...,q

de classe C^\infty dans un ouvert \Omega\subset \mathbb{R}^N sont des équations cartésiennes d’une partie V de \mathbb{R}^N dans \Omega, si

V\cap\Omega=\left\{x\in\Omega|f_1(x)=0,...,f_q(x)=0\right\}

et si les gradients des f_i sont linéairement indépendants en chaque point de cette intersection.

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