Ceva, Menelaus et les bissectrices.

Les théorèmes de Ceva et de Menelaus ont tendance a disparaître de l’enseignement secondaire, du moins en Belgique. Ils sont pourtant fort jolis et puissants. Je vais en donner ici une application aux bissectrices d’un triangle.

La configuration commune aux deux théorèmes est la suivante. On dispose d’un triangle $ABC$ et de points $A', B', C'$ choisis respectivement sur les droites $BC, CA$ et $AB$ .

Ils se formulent au moyen du produit des rapports de section(*)

$\lambda=\sigma_{B,C}(A'), \quad \mu=\sigma_{C,A}(B'), \quad \nu=\sigma_{A,B}(C')$

(Pour que ceux-ci soient définis, on suppose qu’aucun des points $A',B', C'$ n’est un sommet du triangle.)

Le théorème de Ceva affirme que les droites $AA',BB',CC'$ sont parallèles ou concourantes si et seulement si

(1) $\lambda\mu\nu=1$

tandis que, selon le théorème de Menelaus, les points $A',B',C'$ sont alignés si et seulement si

(2) $\lambda\mu\nu=-1$

Il est remarquable que les conditions (1) et (2) s’échangent lorsqu’on change le signe de $\lambda,\mu$ et de $\nu$ , c’est-à-dire lorsqu’on remplace chaque point $A',B',C'$ par son conjugué harmonique par rapport au côté sur lequel il se trouve.

Autrement dit, si un des deux théorèmes s’applique aux points $A',B',C'$ , l’autre s’applique à leur conjugués harmoniques!

Or les pieds des bissectrices intérieure et extérieure issues d’un sommet d’un triangle partagent harmoniquement le côté opposé. En appliquant l’observation ci-dessus aux pieds des bissectrices intérieures, qui se coupent en le centre du cercle inscrit, on voit ainsi que les pieds des bissectrices extérieures d’un triangle sont alignés.

En considérant les cercles exinscrits, on voit aussi que les pieds des bissectrices intérieures issues de deux sommets d’un triangle sont alignés sur le pied de la bissectrice extérieure issue du troisième.

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(*) Le rapport de section d’un point $X=(1-u)A+uB$ de la droite $AB$ par rapport au segment $[A,B]$ est le nombre