Petites variations sur le thème d’une inégalité

Il est bien connu que la somme de deux nombres réels positifs u,v dont le produit est une constante h est minimum lorsqu’ils sont égaux.

Il y a de cela plusieurs vérifications.

On peut par exemple exprimer cette somme comme fonction de u :

u\in]0,+\infty[\mapsto u+\frac{h}{u}\in\mathbb{R}

et rechercher ses extrema. Sa dérivée s’annule en \sqrt{h}, est négative dans l’intervalle ]0,\sqrt h[ et positive dans ]\sqrt h,+\infty[ et le tour est joué.

On peut aussi utiliser une identité remarquable, en l’occurence

(u+v)^2=(u-v)^2+4uv

qui montre que

S^2-4h=(u-v)^2

est positif ou nul, l’égalité ayant lieu exactement lorsque u=v.

La distance d’un point à une droite est la longueur du segment joignant ce point à sa projection orthogonale sur la droite. Ainsi, sur la figure ci-dessous, qui représente un triangle rectangle, la longueur m de la médiane issue du sommet de l’angle droit est plus grande ou égale à la longueur h de la hauteur correspondante. L’égalité a lieu si, et seulement si, ces médiane et hauteur sont confondues, c’est-à-dire lorsque le triangle est isocèle en le sommet de l’angle droit.

Mais, par ailleurs, cette hauteur est la moyenne géométrique des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse, laquelle vaut le double de la médiane.

Il en résulte que, avec les notations de la figure, u+v=2m est minimum lorsque u=v et m=h.

Image

L’analyse, l’algèbre et la géométrie nous auront chacune proposé une explication et chacun appréciera selon ses goûts ces divers points de vue.

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5 réactions sur “Petites variations sur le thème d’une inégalité

  1. Il y a aussi une quatrième méthode (géométrique) : les multiplicateur de Lagrange. Dans le plan des deux variables u et v, on a un ensemble d’hyperboles (produit constant) et un ensemble des droites (somme constante). On voit immédiatement que les deux ont un vecteur normal colinéaire seulement sur les points de la droite d’équation u=v. Donc c’est là où un extrémum de la fonction (u,v) –> u+v sous condition uv=cte a lieu (et c’est clairement un minimum).

    Et en même temps on apprend qu c’est aussi un extrémum de (u,v) –> uv sous condition u+v=cte.

    • Cette vision des choses me plait assez mais ne me semble pas faire appel à la méthode des multiplicateurs de Lagrange : si une droite d’équation u+v=s coupe la branche du premier quadrant de l’hyperbole d’équation uv=h en deux points, alors la tangente à celle-ci parallèle à cette sécante admet l’équation u+v=s' avec, manifestement, s'\leq s.

      Heureusement du reste car cela consisterait assez bien à utiliser « un canon pour tuer une mouche » 😉

      La relation

      (u+v)^2=4uv+(u-v)^2

      lie de façon évidente l’existence (et les valeurs) des extrema de la somme à ceux du produit lorsque l’un des deux est constant.

      Il faut reconnaître que c’est sans doute la plus rapide et la plus accessible des preuves de l’inégalité en question. Malgré tout les preuves géométriques, et en particulier celle que j’ai citée, ont ma préférence — affaire de goût.

  2. > Heureusement du reste car cela consisterait assez bien à
    > utiliser « un canon pour tuer une mouche »

    Je suis d’accord, mais je ne vois pas pourquoi il ne serait pas possible d’utiliser ce canon. Si je me rappelle bien de ce que j’ai appris en calcul différentiel on peut raisonner ainsi : si une fonction f prend un extrémum sur une sous-variété de R^n définie par des équations g_1=…=g_k=0, alors en ce point extrémal la différentielle df est combinaison linéaire des dg_1, … , dg_k. (Les coefficients dans cette combinaisons sont appellés « multiplicateurs de Lagrange »). Dans notre cas k=1, donc il s’agit d’une simple question de colinéarité de différentielles (ou gradients ou vecteurs normaux).

    • On peut parfaitement utiliser le « canon », quand l’interlocuteur à le bagage suffisant pour comprendre.

      Même si ma tendance générale consiste à utiliser les outils minimaux quant aux connaissances requises, c’est à cela que je pensais : on ne peut sortir cette « artillerie », pour continuer l’analogie, en fin d’enseignement secondaire, par exemple, alors que l’identité algébrique est tout à fait montrable à ce niveau, et même plus tôt dans le cursus.

  3. En relisant par hasard ce billet, je me suis rendu compte que j’avais commis une erreur stupide en le rédigeant!
    J’ai utilisé la même notation h avec deux sens différents : le h de la troisième démonstration de l’inégalité est la racine carrée de celui des deux premières preuves.
    Désolé!

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