Inégalité de Cauchy-Schwarz II bis : le cas hermitien

On peut faire à propos de l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans les espaces vectoriels hermitiens la même observation que celle faite ici : elle est vraie dans tous les espaces hermitiens si, et seulement si, elle l’est en dimension 2 et, comme dans le cas réel, en dimension 2, elle repose sur une identité remarquable :

|x\cdot y|^2+|\omega(x,y)|^2=\|x\|^2\|y\|^2

Dans une base orthonormée, cette identité s’interprète de plusieurs façons.

Si on l’exprime en terme des parties réelles et imaginaires des composantes de x,y, c’est une des identités connues sous le nom d’identité de Lagrange. Un de ses intérêts est d’exprimer le produit de deux sommes de quatre carrés d’entiers comme une somme de même nature.

On peut aussi obtenir cette identité au moyen des quaternions : avec les composantes (z_1,z_2) et (z'_1,z'_2) de x,y, on forme les quaternions

q=z_1-z_2j \quad \& \quad q'=\overline{z}'_1+z'_2j

On a alors(*)

qq'= (z_1\overline{z}'_1+z_2\overline{z}'_2)+(z_1z'_2-z_2z'_1)j

et l’identité ne fait que traduire l’égalité |qq'|=|q||q'|, \omega(x,y) étant le déterminant de la matrice des composantes de x,y.

Dans un espace hermitien, v\cdot u=\overline{u\cdot v} de sorte que, contrairement au cas réel, l’identité

(u+v)\cdot (u-v)=\|u\|^2-\|v\|^2

est fausse. On ne peut donc plus construire une base orthonormée d’un espace hermitien de dimension 2 comme on l’a fait dans l’article précité pour un espace euclidien(**). Qu’à cela ne tienne, le procédé classique d’orthonormation s’applique sans problème : si (u,v) est une base et si u est normé, alors v'=v-(v\cdot u)u est perpendiculaire à u et

(u,\frac{v'}{\|v'\|})

est une base orthonormée.

__________
(*) C’est immédiat si on observe que, pour tout nombre complexe z, jz=\overline{z}j.
(**) Dans un espace euclidien, si u,v sont normés, u+v et u-v sont orthogonaux.

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