Un déterminant

J’ai eu besoin du déterminant

\Delta_n(u_0,\ldots,u_n)

de la matrice de taille n dont tous les éléments non diagonaux valent u_0 et dont le i-ème élément diagonal vaut u_0+u_i, où u_0,...,u_n sont des nombres complexes quelconques.

On a

(1) \Delta_n(u_0,\ldots,u_n)=\sum_{i=0}^nu_0\cdots ]i[ \cdots u_n

]i[ dénote l’omission de u_i.

Pour le vérifier, on peut, par exemple, procéder comme ceci.

On observe d’abord que \Delta_n est symétrique en les u_i, i>0. Sa valeur n’est en effet pas modifiée lorsqu’on échange deux arguments d’indices positifs : pour permuter u_i avec u_j, il suffit d’échanger simultanément les lignes et colonnes d’indices i,j du déterminant, ce qui ne modifie pas sa valeur. Par ailleurs, il est clair que \Delta_n est du premier degré en les u_i, i>0.

Il suffit dès lors de vérifier l’égalité (1) lorsque u_1=\cdots =u_n car(*)

(2) Deux polynômes symétriques en u_1,...,u_n et du premier degré en chaque u_i sont égaux si, et seulement si, ils le sont lorsque u_1=\cdots=u_n.

Or

\Delta_n(u_0,\ldots,u_n)=\det\left(u_0 P+\mathrm{diag}(u_1,...,u_n)\right)

P est la matrice carrée, de taille n, dont tous les éléments sont égaux à 1. Cette matrice est de rang 1 et, comme P^2=nP, son polynôme caractéristique est

\det(P-\lambda I_n)=(-1)^n\lambda^{n-1}(\lambda-n)

En remplaçant \lambda par -u/v puis en multipliant les deux membres par v^n, cela donne

\det(vP+uI_n)=u^n+nvu^{n-1}

D’où le résultat (dont le seul intérêt est, peut-être, d’avoir illustré la propriété (2)) ;-).

__________
(*) Voir les deux premiers commentaires ci-dessous. Dans la première rédaction, la condition de degré n’apparaissait pas.

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2 réflexions sur “Un déterminant

  1. L’assertion (2) n’est vraie que pour les polynômes symétriques de degré 1 en chaque variable. Par exemple, (x-y)^2 est symétrique en x et y et vaut 0 lorsque x=y mais n’est pas nul.

    • Honte soit sur moi!

      Observation tout à fait correcte dont je vous remercie vivement!

      Je suis d’autant plus fâché sur moi que c’est exactement à la polarisation des tenseurs symétriques que je pensais, donc à cette condition de degré!

      Elle est naturellement vérifiée a priori pour le déterminant, de façon évidente.

      Pour éviter un mauvais usage de cette assertion, je m’en vais corriger le texte principal.

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