Produits scalaires et nombre d’or

Considérons un triangle \Delta=ABC d’un plan affine \mathcal{E} modelé sur un espace vectoriel réel E.

On note g_B et g_C les produits scalaires de E faisant respectivement de \Delta un triangle rectangle en B et en C, et dont les côtés de l’angle droit sont de longueur 1.

L’ensemble des produits scalaires de E étant convexe, il contient le segment

g_t=(1-t)g_B+tg_C, \quad t\in[0,1]

joignant ces produits scalaires. Mais c’est aussi un ouvert de l’ensemble des formes bilinéaires sur E. Il contient donc un plus grand segment de la droite passant par g_B et g_C.

Il vous est proposé de vérifier que g_t est un produit scalaire si, et seulement si,

-\frac{1}{\varphi}<t<\varphi

\varphi est le nombre d’or(*) et de montrer que le lieu de l’orthocentre du triangle \Delta dans le plan euclidien (\mathcal{E},g_t) lorsque t décrit cet intervalle est une branche d’hyperbole par rapport à laquelle les directions de la droite BC et de la médiane de \Delta issue du sommet A sont conjuguées(**).

__________
(*) Le nombre d’or est le zéro positif du polynôme x^2-x-1.
(**) Le centre de l’hyperbole se trouve sur cette médiane, à un cinquième de celle-ci compté à partir du sommet A.

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Une réaction sur “Produits scalaires et nombre d’or

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