Les produits vectoriels I

Lorsqu’il est orienté, un espace vectoriel euclidien de dimension 3 est équipé de trois multiplications : le produit scalaire (x,y)\mapsto x\cdot y, le produit vectoriel (x,y)\mapsto x\wedge y et le produit mixte (x,y,z)\mapsto [x,y,z].

Ces produits sont liés par deux identités remarquables :

[x,y,z]=(x\wedge y)\cdot z

et

(x\wedge(y\wedge z))=(x\cdot z)y-(x\cdot y)z

Le produit mixte doit probablement son nom à la première, mais je pense que c’est une particularité du monde francophone car, dans le monde anglophone, il me semble que les produits se nomment généralement dot product, cross product et vector triple product, le \wedge étant remplacé par un \times. D’ailleurs, si certains utilisent cette identité pour définir le produit mixte, d’autres, dont je suis, l’utilisent plutôt pour définir le produit vectoriel.

Je reviendrai probablement sur ce point dans un article ultérieur car il y a là un peu plus qu’une simple affaire de goût mais, dans un premier temps, c’est de la seconde identité que nous allons nous occuper.

Elle m’intrigue depuis longtemps. En particulier, je me suis demandé jusqu’à quel point elle est caractéristique du produit vectoriel.

Je me propose de vous faire part de certaines observations que j’ai faites à son propos dans quelques articles à venir. En cours de route, nous verrons qu’il y a, essentiellement, deux « produits vectoriels ». J’ai cru tout un temps le second produit original puis j’en ai trouvé mention dans un excellent petit livre de Birgen Iversen : Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society, Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992.

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