Les produits vectoriels II

Dans ce qui suit, nous noterons E un espace vectoriel réel de dimension finie n > 1, g:E\times E\to \mathbb{R} une forme bilinéaire non dégénérée, \tau:E\times E\to E une application bilinéaire antisymétrique et nous supposerons que celle-ci vérifie « l’identité du double produit vectoriel », c’est-à-dire que

\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

pour tous x,y,z\in E.

Nous nous proposons de déterminer toutes les applications ayant cette propriété — les produits vectoriels ainsi que j’ai envie de les appeler.

Pour conserver des textes de taille raisonnable, je consacrerai à ce propblème plusieurs articles. Dans celui-ci, nous ferons quelques remarques préliminaires.

Observons d’abord qu’en raison de cette identité, \tau détermine complètement g. De façon précise,

(1) \forall x,y\in E : \quad g(x,y)=-\frac{1}{n-1}\mathrm{tr }(\gamma_x\circ\gamma_y)

\gamma_x désigne la multiplication à gauche y\mapsto \tau(x,y) par x et \mathrm{tr} désigne la trace.

La vérification est facile. En effet, en notant (e_1,...,e_n) est une base de E et (\varepsilon^1,...,\varepsilon^1) la base duale, il vient

\mathrm{tr }(\gamma_x\circ\gamma_y)=\sum_{i=1}^n\langle\varepsilon^i,\tau(x,\tau(y,e_i))\rangle

et (1) découle alors immédiatement de la formule du double produit vectoriel.

Il résulte en particulier de (1) que la forme g est symétrique car la trace d’une composée d’endomorphismes est invariante par permutation circulaire des facteurs.

Dès lors, (E,\tau) est une algèbre de Lie. Cela signifie qu’en plus d’être bilinéaire et antisymétrique, \tau vérifie l’identité de Jacobi(*) :

\tau(x,\tau(y,z))+\tau(y,\tau(z,x))+\tau(z,\tau(x,y))=0

En effet, g étant symétrique, l’identité du double produit vectoriel se réécrit sous la forme

\tau(x,\tau(y,z))=g(z,x)y-g(x,y)z

et dans le membre de droite de cette égalité, au signe près, on passe du premier terme au second en permutant circulairement x,y,z.

Voici alors une observation très utile(**).

(2) Si deux éléments de l’algèbre de Lie (E,\tau) sont linéairement indépendants, alors leur crochet de Lie n’est pas nul.

De fait, soient des éléments y,z linéairement indépendants et dont le crochet de Lie est nul. Ils appartiennent au radical de g, que nous supposons cependant non dégénéré. En effet, l’identité du double produit vectoriel montre alors que

0=\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

pour tout x\in E, et donc que y, z sont perpendiculaires à E. D’où (2), en raisonnant par l’absurde.

Nous terminerons cet article en notant que la dimension n de E est au moins 3.

Cela découle de la remarque (**) mais, comme je le souhaite, on va le vérifier sans utiliser la théorie des algèbres de Lie simples. Comme on suppose n plus grand que 1, il faut montrer que E n’est pas de dimension 2, ce qu’on va faire par l’absurde.

Admettons que E soit de dimension 2. D’après (2), l’algèbre (E,\tau) n’est pas abélienne. On voit alors facilement qu’elle admet une base (u,v) telle que \tau(u,v)=v. En calculant g à l’aide de la formule (1) dans cette base, on voit que v est dans son radical. D’où une contradiction.

__________
(*) La formule (1) montre qu’à un coefficient près, g est la forme de Killing de cette algèbre de Lie. Comme elle est non dégénérée, il résulte du critère de Cartan que l’algèbre est semi-simple. Ceci pourrait être exploité pour raccourcir notre recherche des produits vectoriels mais, souhaitant rester à un niveau relativement élémentaire, je ne suivrai pas cette voie.
(**) Dans le prolongement de la remarque précédente, cela implique que (E,\tau) est une algèbre de Lie simple.

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10 réactions sur “Les produits vectoriels II

  1. A partir de (2) on peut montrer directement que E est de dimension 3. En effet, soient y et z deux vecteurs linéairement indépendants. Soit a=\tau(y,z). D’après l’identité du double produit vectoriel, un vecteur x est orthogonal (pour la forme g) au plan si et seulement si \tau(x,a)=0, ce qui équivaut d’après (2) à ce que x est proportionnel à a. On en déduit que l’orthogonal d’un plan est une droite, donc E est de dimension 3.

  2. P.S. On vérifie aussi que \tau(y,z) est orthogonal à y. Il suffit pour cela de prendre x=\tau(y,z) dans l’identité du produit vectoriel.

    Soit maintenant (e_1,e_2,e_3) une base orthogonale pour g telle que g(e_i,e_i) = a_i e_i avec a_i = \pm 1.

    D’après ce qui précède, il existe c_3 tel que \tau(e_1,e_2)=c_3e_3. On définit de même c_1 et c_2 par permutation circulaire des indices.

    En prenant x=z=e_1,  y=e_2 dans l’identité du produit vectoriel, on obtient a_1=c_2c_3. De même, a_2=c_3c_1 et a_3=c_1c_2.

    On en déduit que a_1a_2a_3 > 0, donc soit les a_i sont tous égaux à 1, soient deux d’entre eux sont égaux à -1.

    Dans le premier cas, on a c_1=a_1c_1=c_1c_2c_3, et de même c_2=c_3=c_1c_2c_3 donc les c_i sont tous égaux à une constante c. De plus, c=c^3 donc c=\pm1, ce qui montre que \tau est égal au signe près au produit vectoriel.

    Dans le deuxième cas, on peut supposer que a_1=1, a_2=-1, a_3=-1. Un raisonnement analogue donne que, au signe près, (c_1,c_2,c_3)=(-1,1,1)

  3. L’argument de dimension est important. Je regrette de ne pas l’avoir trouvé aussi directement! Bravo, JLT!

    A partir de là (second commentaire), les choses se déroulent plus facilement que dans mon approche.
    En fait, il ne reste plus grand chose à faire pour lever l’ambiguïté de signe sur \tau.

    On peut même être plus rapide encore que ci-dessus. En effet, on voit facilement que les \gamma_x sont des applications antisymétriques pour g (vu (1). De plus, \gamma: x\to \gamma_x est injectif. Pour les deux possibilités de signature de g, il est trivial de voir que l’algèbre des applications antisymétriques est de dimension 3; c’est classique dans le cas du produit scalaire. Ainsi, \gamma est un isomorphisme. Dans le cas d’un produit scalaire, il est connu également qu’alors \tau est le produit vectoriel « classique ». Dans l’autre cas, on trouve un autre produit, lié à l’algèbre sl(2,\mathbb{R}) comme expliqué dans l’article suivant.

    J’écrirai cependant le dernier volet de cette brève épopée ne serait-ce qu’en guise de conclusion.

    Ah! Que les mathématiques sont exigeantes!

    PS Je me suis permis de LaTeX-er les deux commentaires : avec tous les indices, ils étaient peu lisibles autrement, ce qui était dommage! 😉

  4. Bonjour,

    y a-t-il moyen d’écrire en LaTeX dans les commentaires? Comme ceci : \tau? Ou bien comme ceci : [tex]\tau[/tex]?

  5. Désolé pour les bugs de LaTeX des commentaires précédents (que vous pouvez effacer si vous souhaitez), je faisais un essai pour vérifier s’il est possible d’entrer une formule en LaTeX avec la même méthode que sur le site de Pierre Bernard.

    En ce qui concerne la question de signe de \tau, il est normal qu’il y ait une ambiguïté puisque le produit change de signe lorsqu’on change l’orientation. Plus précisément, si on permute les vecteurs de base e_2 et e_3, on obtient l’autre signe.

    Autre remarque : une manière plus symétrique de présenter les deux produits vectoriels serait de dire que l’un est lié à l’algèbre de Lie de O(3), tandis que l’autre est lié à l’algèbre de Lie de O(1,2).

  6. Bonjour,

    Je tombe sur ce blog et ce sujet très intéressant de produit vectoriel.
    Un point m’échappe toute fois : je ne vois vraiment pas comment montrer que les $\gamma_{a}$ sont antisymétriques pour g en n’utilisant que (1).
    Je venais aussi proposer de regarder ce qui se passe lorsque $\tau$ n’est plus supposée antisymétrique.

    Name

  7. Je ne sais pas pourquoi les messages ont été permutés! (Sans doute à cause de la lenteur de la connexion, je suis dans un hôtel où la connexion rame que ce n’est ps possible! ;-))

    Je réponds ici aux messages de Name, un peu tard vu que c’est seulement depuis ce soir que j’ai de nouveau accès au web, désolé. En tous cas, je le remercie pour ses commentaires.

    Pour voir que les \gamma_a sont antisymétriques, il suffit de noter que

    \mathrm{tr}\left([A,B]C+B[A,C]\right)=0

    pour tous endomorphismes A,B,C.

    Il serait en effet intéressant de voir ce qui se passe sans supposer \tau antisymétrique. C’est dans mes cartons mais je n’ai pas encore regardé de près.

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