Les produits vectoriels III – Le cas hyperbolique

Cet article fait suite à celui-ci dont nous utilisons librement les notations et les résultats.

Pour résumer l’état des lieux, nous supposons disposer d’une algèbre de Lie réelle (E,\tau) de dimension finie n au moins égale à 3 et vérifiant la formule du double produit vectoriel

\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

g est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de E.

Nous savons également que

(1) Si des éléments de E sont linéairement indépendants, alors leur crochet de Lie n’est pas nul.

Considérons alors un élément a\in E tel que g(a,a)\neq 0.
En itérant l’identité du double produit vectoriel, on voit que(*)

\gamma_a^3=-g(a,a)\gamma_a

Par conséquent, \gamma_a est diagonalisable(**) et ses valeurs propres figurent parmi 0 et les racines carrées \pm \alpha de -g(a,a).

A partir d’ici, il convient de distinguer deux possibilités. Soit il existe a pour lequel g(a,a) est négatif, soit g(a,a) est positif ou nul pour tout a, auquel cas g est un produit scalaire puisqu’il est non dégénéré.

Nous terminerons le présent article en étudiant le premier cas. Le second sera développé dans un autre billet.

Supposons donc que g(a,a)<0. D'après ce qui précède, les valeurs propres de \gamma_a sont réelles. De plus, elles sont simples :

(2) Les espaces propres de \gamma_a sont de dimension 1.

En effet, soient x,y des vecteurs propres de valeurs propres \lambda, \mu. D’après l’identité de Jacobi, leur crochet de Lie est un vecteur propre de valeur propre \lambda+\mu ou est nul. Or, si \lambda=\mu=\pm\alpha, \lambda+\mu n’est pas une valeur propre. Par conséquent, \tau(x,y)=0 et, vu (1), x,y sont donc linéairement dépendants.

Par ailleurs, par définition, un vecteur propre de valeur propre 0 commute avec a. Vu (1) de nouveau, il en est donc un multiple, ce qui achève la preuve de (2).

Il résulte de ce qui précède que les valeurs propres de \gamma_a sont exactement les trois nombres réels -\alpha,0,\alpha et que la dimension de E est 3.

Choisissons donc une base (f,h,e) de E formées de vecteurs propres relatifs à -\alpha,0,\alpha dans cet ordre(***). Vu (1), le crochet \tau(e,f) n’est pas nul. C’est donc un vecteur propre de valeur propre 0. Ainsi,

\tau(h,e)=\alpha e, \tau(h,f)=-\alpha f,\tau(e,f)=\beta h

\beta n’est pas nul.

Quitte à diviser h par \alpha/2 et e par \beta, nous pouvons supposer que \alpha=2 et \beta=1, autrement dit, que l’algèbre de Lie (E,\tau) est isomorphe à l’algèbre de Lie sl(2,\mathbb{R}) des matrices réelles carrées de dimension 2 et de trace nulle.

De façon plus précise, on peut vérifier que x\mapsto \gamma_x est un isomorphisme entre l’algèbre de Lie (E,\tau) et celle des applications linéaires antisymétriques de l’espace (E,g). En outre, dans la base

\left(e_1=\frac 1 2 (e-f), e_2=\frac 1 2 (e+f), e_3=\frac 1 2  h\right)

g prend la forme

x_1x'_1-x_2x'_2-x_3x'_3

tandis que \tau est donné par la table

\tau(e_1,e_2)=e_3,\tau(e_2,e_3)=-e_1,\tau(e_3,e_1)=e_2

Ce n’est pas bien difficile à voir, en utilisant la formule (1) de l’article cité en préambule.

De plus, dans cette base adaptée à g, il est également facile de vérifier que la formule du double produit vectoriel est effectivement satisfaite par l’application \tau définie par ces formules. Celle-ci mérite donc bien le nom de « produit vectoriel ». Pourtant, ce n’est pas le produit vectoriel classiquement défini dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois!😉

__________
(*) On désigne par \gamma_x l’application linéaire y\mapsto \tau(x,y).
(**) Si g(a,a) < 0, il faut considérer que \gamma_a agit sur l'espace complexifié de E.
(***) Naturellement, on peut prendre h=a. J’adopte simplement ici la façon usuelle de dénoter les bases canoniques de sl(2,\mathbb{R}).

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