Les produits vectoriels IV – Conclusion

Les commentaires de JLT concernant cet article ont significativement simplifiés la détermination des produits vectoriels sur un espace vectoriel réel E muni d’une forme bilinéaire non dégénérée g en montrant que E est de dimension 3.

Dans cet épisode, traitant du cas où g est hyperbolique, c’était établi indirectement, après quoi, l’identification du produit vectoriel correspondant était relativement élémentaire, le cas euclidien étant postposé à un article ultérieur.

Une fois connu le fait que l’algèbre de Lie (E,\tau) est de dimension trois, ce dernier cas est trivial, sur base d’une observation qui convient aussi au cas hyperbolique et qui a le mérite de présenter les deux produits vectoriels sous un angle intéressant et de façon plus symétrique.

Je vais rapidement décrire cela en guise de conclusion à cette suite d’articles.

Pour rappel, via la formule du double produit vectoriel, on obtient

(1) g(x,y)=-\frac 1 2 \mathrm{tr }(\gamma_x\circ\gamma_y)

\mathrm{tr} désigne la trace et \gamma_x l’application adjointe y\mapsto \tau(x,y).

On sait également que dans l’algèbre (E,\tau), le crochet de deux éléments linéairement indépendants est toujours non nul. En particulier, le centre de l’algèbre est réduit à 0 : l’application \gamma:x\mapsto \gamma_x est donc un homomorphisme injectif d’algèbres de Lie, à valeurs dans l’algèbre des endomorphismes de (E,g).

Par ailleurs, il résulte immédiatement de (1) que les applications \gamma_x sont antisymétriques pour g. Or, en dimension 3, l’algèbre des applications antisymétriques pour g est aussi de dimension trois. Dès lors, \gamma est un isomorphisme d’algèbres de Lie.

Naturellement, les algèbres d’applications antisymétriques de g et -g sont les mêmes, ce qui permet de ne pas distinguer les signatures (1,1,1) et (-1,-1,-1), ainsi que (1,-1,-1) et (-1,1,1). Cependant, ce n’est qu’avec les signatures (1,1,1) et (1,-1-1) que, sur E, l’identité du double produit vectoriel

\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

est vérifiée. Avec les autres signatures, on obtient une variante de cette identité, résultant du changement de signe de g.

Il est intéressant de noter que les deux algèbres de Lie obtenues, sl(2,\mathbb{R}) et so(3), sont les deux formes réelles de l’algèbre de Lie simple sur \mathbb{C} de type A_1, dont un modèle est sl(2,\mathbb{C}). De plus, g est, dans chaque cas, un multiple de la forme de Killing.

D’une certaine façon, les produits vectoriels sont donc des accidents de dimension. En effet, d’après le critère de Cartan, toute algèbre de Lie semi-simple est isomorphe à une sous-algèbre de Lie de l’algèbre des applications antisymétriques d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée (sa forme de Killing). Cependant, l’algèbre de Lie des applications antisymétriques d’une forme bilinéaire d’un espace vectoriel de dimension n > 0 est de dimension (n^2-n)/2, qui ne vaut n que si n=3.😉

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