Un critère simple pour que deux droites soient gauches

Dans un espace affine \mathcal{E} de dimension 3, les positions relatives possibles de deux droites sont les suivantes. Elles peuvent être soit gauches, soit coplanaires. Dans le second cas, soit elles sont sécantes, soit elles sont parallèles.

Considérons deux droites. L’une est déterminée par deux points A et B. L’autre est l’intersection de deux plans \alpha et \beta. La figure suivante illustre le cas où elles sont gauches.

Droites gauches

Supposons \mathcal{E} rapporté à un repère. Pour alléger les notations, nous désignerons par A et B aussi bien les points donnés que leur coordonnées dans le repère. De même, nous conviendrons de noter \alpha=0 une équation cartésienne du plan \alpha et semblablement \beta=0 une équation de l’autre plan. Moyennant quoi :

Les droites AB et \alpha\cap\beta sont gauches si, et seulement si,

\det\begin{pmatrix}\alpha(A)&\beta(A)\\\alpha(B)&\beta(B)\end{pmatrix}\neq 0

En effet, le déterminant en question est nul si, et seulement si, ses colonnes sont linéairement dépendantes. Cela signifie exactement que les coordonnées de A et de B sont des solutions d’une équation de la forme

p\alpha+q\beta=0

où les nombres p,q ne sont pas tous les deux nuls. Or, les équations de cette forme sont celles des plans contenant la droite \alpha\cap\beta. L’annulation du déterminant équivaut donc au fait que AB et celle-ci sont coplanaires.😉.

4 réflexions sur “Un critère simple pour que deux droites soient gauches

  1. Beau critère, utilisant les faisceaux de plans.
    Pour ma part, je fais prouver en exo à mes élèves que si
    D passe par A est dirigée par u
    D’ passe par B est dirigée par v

    D et D’ sont coplanaires ssi Det(AB,u,v)=0

    Ce qui est également un critère simple à utiliser.

  2. Bonjour,

    ce critère est vraiment d’une grande utilité mais je ne comprends pas tout à fait la démonstration.
    Je comprends que le déterminant s’annulle lorsque les colonnes sont linéairement dépendantes, mais pourquoi est-ce que cela signifie que les coordonnées de A et de B sont des solutions d’une équation de la forme

    p*alpha+q*beta=0

    où les nombres p,q ne sont pas tous les deux nuls…? Est-ce que vous pourriez préciser la réflexion à faire?
    Merci d’avance.

    • Mais oui! Merci pour votre question!

      Le fait que les colonnes, C_1,C_2, sont linéairement dépendantes signifie qu’il existe des nombres p,q qui ne sont pas tous les deux nuls tels que pC_1+qC_2=0. Soit, dans notre cas,

      p\begin{pmatrix}\alpha(A)\\ \alpha(B)\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}\beta(A)\\ \beta(B)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \end{pmatrix}

      et donc

      \begin{cases}p\alpha(A)+q\beta(A)=0\\p\alpha(B)+q\beta(B)=0\end{cases}

      ce qui signifie bien que les coordonnées de A,B vérifient l’équation p\alpha+q\beta=0.

      Sommes nous d’accord?

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