Les produits vectoriels – Le retour

Je pensais cet article mettre un point final à ma quête des produits vectoriels mais une curiosité obsédante a eu raison de moi, m’incitant à remettre en question une hypothèse, par ailleurs bien naturelle, utilisée au fil des billets consacrés à celle-ci.

Appelons produit vectoriel un triple (E,\tau,g) formé d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n >1, d’une application bilinéaire et antisymétrique \tau:E\times E\to E et d’une forme bilinéaire g:E\times E\to \mathbb R vérifiant l’identité du double produit vectoriel :

\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

L’hypothèse en question consiste à supposer g non dégénéré et conduit, à isomorphisme près, à deux produits vectoriels. Pour l’un comme pour l’autre, (E,\tau) est une algèbre de Lie et g est un multiple de sa forme de Killing. Il s’agit des formes réelles so(3) et sl(2,\mathbb R) de sl(2,\mathbb C), g étant respectivement de signature (+,+,+) et (+,—,—).

Supposer seulement g\neq 0 donne un famille de produits supplémentaires parmi lesquels on trouve le suivant : (E,\tau) est l’algèbre de Lie du groupe affine de la droite réelle et g est une forme de signature (—,0). Plus en détails, E admet une base (u,v) telle que

\tau(u,v)=v,\quad g(u,u)=-1,\quad g(u,v)=0 \quad \& \quad g(v,v)=0

Plus généralement, dans cette famille, le radical R de g est de codimension 1. On peut écrire E=\mathbb{R}u\oplus R, où \|u\|^2=\pm 1 et

\forall r,s\in\mathbb{R},\forall x,y\in R : \quad\tau(ru+x,su+y)=rT(y)-sT(x)

où l’application linéaire T:R\to R vérifie l’égalité T^2=-\|u\|^2 id_R. Ces algèbres sont faciles à classifier, ce qui ne sera pas fait ici(*).

On doit également considérer le cas g=0. Les produits vectoriels correspondants sont caractérisés par le fait que (E,\tau) est une algèbre de Lie dont le centre contient l’idéal dérivé : E est de la forme Z\oplus V et

\forall z,z'\in Z, \forall v,v'\in V : \quad \tau(z+v,z'+v')= \omega(v,v')

\omega : V\times V\to Z est bilinéaire, antisymétrique et non dégénéré. Je crois qu’il est difficile d’obtenir une classification complète des algèbres de cette sorte car cela revient à étudier la mise sous forme canonique simultanée de plusieurs formes bilinéaires antisymétriques. Voici deux exemples de telles algèbres. Il y a les algèbres abéliennes, celles dont le crochet de Lie est nul, obtenues avec V=\{0\}. Il y a aussi les algèbres de Lie de Heisenberg, pour lesquelles \dim Z=1 et \omega\neq 0. Elles admettent des bases (p_1,...,p_m,z,q_1,...,q_m) dans lesquelles, à antisymétrie près, les seuls crochets de Lie non nuls sont les crochets \tau(p_i,q_i)=z.

Voici quelques indications sur une preuve possible de ce que je viens d’avancer. En fait, nous pouvons nous contenter de montrer que si le rang de g est au moins 2, alors il est non dégénéré car les cas restants, conduisant aux deux dernières familles précitées, sont très faciles à traiter(**). Nous supposons donc désormais que le radical R de g est de codimension au moins 2.

On a vu dans les articles précédents, et c’est toujours d’application, même sans cette hypothèse, que

g(x,y)=-\frac{1}{n-1}\mathrm{tr }(\gamma_x\circ\gamma_y)

\gamma_x:y\mapsto \tau(x,y).

Ceci a plusieurs conséquences faciles : g est symétrique et, dès lors, (E,\tau) est une algèbre de Lie. De plus, les \gamma_x sont des applications antisymétriques, ce qui implique que le radical R de g est un idéal de (E,\tau).

Nous allons voir que le centre Z de (E,\tau) est réduit à 0. Soit en effet un élément central z. Il appartient au radical de g car, quels que soient x,y\in E linéairement indépendants(***), on a

\tau(z,\tau(x,y))=g(z,y)x-g(z,x)y=0

et, donc, g(z,x)=0. Cela étant, il existe u,v\in E tels que g(u,v)\neq 0. Comme z est dans le radical,

\tau(u,\tau(z,v))=g(u,v)z=0

et donc z=0 comme annoncé.

On observe alors que R est abélien. En effet, si x,y\in R, il résulte de l’identité du double produit vectoriel que \tau(x,y) est central. De plus, par un argument similaire \tau(x,y)=0 pour toutx\in R et tout élément y de l’idéal dérivé E' de E.

Par conséquent, pour prouver que R=0, il suffit de montrer que E=R+E' puisque ceci implique que R est contenu dans le centre de (E,\tau), qui est nul.

Par passage au quotient par le radical de g, on obtient un produit vectoriel

(\overline{E}=E/R,\overline{\tau},\overline{g})

dans lequel \overline{E} est de dimension au moins 2 et \overline{g} est non dégénéré. Par conséquent, comme rappelé plus haut, (\overline{E},\overline{\tau}) est l’une des algèbres de Lie so(3) ou sl(2,\mathbb {R}). Or chacune d’elle coïncide avec son idéal dérivé, ce qui prouve que E=R+E'.

__________
(*) A noter : lorsque \|u\|^2=1, T est une structure complexe sur R. Ce dernier est donc un espace vectoriel complexe regardé comme réel, et T est simplement la multiplication par i considérée comme une application linéaire réelle.
(**) Pour les étudier, il faut quand même savoir que (E,\tau) est une algèbre de Lie dont le radical de g est un idéal. Ce qui est fait au tout début de ce qui suit, sans hypothèse particulière sur g.
(***) La dimension de E est au moins 2.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s