Un beau petit lieu géométrique

Comme illustré sur la figure suivante, on dispose de deux cercles \gamma et \gamma' d’un même plan et d’un point fixe P situé sur le premier. Le centre M du second, dont le rayon est constant, se déplace sur le premier. Le point N est le premier point d’intersection de \gamma et \gamma' que l’on rencontre en parcourant « dans le sens trigonométrique » ce dernier depuis un point extérieur à \gamma(*). La droite PN(**) recoupe \gamma' en un point L.

lieu

On vous propose de déterminer le lieu de L et de montrer que la perpendiculaire à PN menée par L passe par un point fixe.
__________
(*) L’autre point d’intersection ferait aussi bien l’affaire d’autant que l’orientation est purement conventionnelle.
(**) Lorsque N=P, c’est la tangente à \gamma en P.

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3 réflexions sur “Un beau petit lieu géométrique

  1. Bonjour, et merci pour ce très beau blog. 🙂

    Notons N' le deuxième point d’intersection de \gamma et \gamma' .
    DB est la bissectrice de \hat{NPN'} , elle constitue un axe de symétrie.
    Ainsi N' est le symétrique de L, de plus l’angle \hat{NPN'} (angle inscrit) est constant, notons le \alpha .
    Le lieu de L est donc l’image de \gamma par la rotation de centre P et d’angle \alpha .
    Toutes les perpendiculaires passent nécessairement par le point diamétralement opposé à P (sur ce cercle).

    ps : Peut-on insérer des images ? Peut-on prévisualiser le commentaire ?
    Juste une dernière remarque (impertinente;)), sachant que les pages internet se chargent par le haut (sotte idée au demeurant)
    il n’est pas très pratique pour la recherche d’archive d’avoir mis le lien « anciens billets » en bas.

  2. Bien vu! Bravo! 🙂

    La question est un peu déconcertante au premier abord, ce qui me semble en faire le sel.

    En ce qui concerne vos questions, je ne sais malheureusement pas y répondre : je ne maîtrise pas le « thème » utilisé. Il est prédéfini et je n’ai guère de leviers pour en changer certains aspects — du moins je n’en connais pas encore.

    A dire vrai, au début, j’ai fait quelques tentatives de modification mais cela a été catastrophique …

    Merci, enfin, pour le compliment. 🙂

    • Merci pour vos réponses! 🙂
      Pour en revenir au problème, ma première idée a été d’observer la puissance de P par rapport à \gamma' .
      Je pense que c’est une idée que tout le monde a, au vu de la figure.

      Cette idée n’aboutit pas, mais elle aide à la compréhension du problème.
      En effet, on s’aperçoit que en faisant « rouler » \gamma' M prend la place de N' et N' de M .
      Cela m’a permis de trouver la symétrie (vive la géométrie !). 🙂

      Encore merci pour le problème!

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