Multiplier, ou diviser, l’ordonnée par l’abscisse : à la main!

En appliquant une transformation simple à effectuer point par point avec une règle graduée, on peut facilement construire le graphe de x\mapsto xf(x), ou de x\mapsto f(x)/x, à partir de celui de f.

La multiplication par l’abscisse est décrite sur la figure suivante, suffisamment explicite me semble-t-il pour ne pas devoir préciser davantage les choses :

Multiplier

Multiplication par l'abscisse

La transformation réciproque, la division par l’abscisse, s’obtient très facilement. La voici présentée sur un dessin :

Diviser

Division par l'abscisse

En plaçant le point de coordonnées (x,y) dans les différents quadrants, ou de part et d’autre de la verticale d’équation x=1, ces transformations permettent de visualiser de façon très claire la « règle des signes » ainsi que l’effet sur le module de la multiplication par un nombre plus grand ou plus petit que 1.

En itérant la multiplication par l’abscisse à partir du graphe de la fonction constante 1, on obtient ainsi facilement autant de point qu’on le souhaite des graphes des puissances entières et positives de x. Sur cette figure, on a représenté les trois premières :

Puissances

Itérations de la multiplication par l'abscisse

Pour les puissances négatives, et en particulier pour obtenir des points de l’hyperbole d’équation xy=1, il suffirait d’itérer la seconde transformation.

On peut généraliser de diverses manières les deux transformations et obtenir de beaux graphes de polynômes. Voici un exemple dans lequel, au départ d’une droite, on obtient une parabole, une cubique et une quartique. Dans cet exemple, le rôle de l’origine dans les transformations originales est tenu par un point quelconque de l’axe vertical.

Généralisation

Itérations d'une variante de la multiplication par l'abscisse

Les transformations présentées ici sont des cas particuliers d’hyperbolisme et d’anti-hyperbolisme. Ceux-ci donnent naissance à une multitude de courbes célèbres, dont la « Sorcière d’Agnesi » via laquelle j’ai fait leur connaissance.

Vous trouverez facilement sur le net des renseignements sur ces transformations, en visitant par exemple cet excellent site.

7 réflexions sur “Multiplier, ou diviser, l’ordonnée par l’abscisse : à la main!

  1. bonjour

    est-ce que ces transformations peuvent etre utilisées dans la mise en facteur des nombres entiers composés?

    mon niveau de math ne me permet pas de répondre à cette question.

    merci pour l’article et merci pour votre réponse.

    mahfoud b.

  2. Je ne vois pas très bien comment cela pourrait aider la factorisation des entiers. Ici, il s’agit de transformations géométriques.

    Je répondrais donc plutôt : « non » (mais on ne sait jamais, c’est peut-être une question d’imagination).

    • j’ai pensé que les formules utilisées dans ces transformations sont les memes que celles de la mise en facteur de N=p*q

      N=p*q ou f(x)=x*y

      La difference majeure est que dans le cas de la mise en facteur, on ne connait ni p ni q à l’avance. mais ca ne veut pas dire que ces transformations ne sont pas utiles pour la mise en facteurs.

      • Si je comprends bien, la différence vient du fait que la construction proposée n’est pas une formule mais seulement une construction géométrique. En pratique, elle fournira des « points » mais pas des nombres lesquels dans le meilleurs des cas pourraient être approximés en mesurant les segments dessinés. Cela ne donnerait généralement pas des valeurs exactes.

  3. un autre problème vient du fait qu’un nombre composé N est représenté sur l’abscisse des p (ou q) mais en fait, il doit être représenté comme un point du plan (p,q) parce qu’ il est le produit de p par q. Je pense que N est un element matriciel N(p,q). Malheureusement ne connaissant ni p, ni q, on ne sait pas ou il se trouve sur la matrice (p,q) et je réalise qu’il est difficile d’utiliser ces transformations pour obtenir p ( ou q) connaissant seulement N=p*q.

  4. Je comprends mieux ce que vous voulez dire.

    De toute façon, la factorisation d’un nombre est un problème difficile et je vois mal les opérations décrites ici, extrêmement simples, participer de manière significative à sa résolution.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s