A propos des sphères.

Voici un joli problème posé il y a peu au « Challenge du Café » de mon département :

Montrer que si chaque section plane d’une partie d’un espace affine euclidien de dimension 3 est soit vide, soit un point soit un cercle, alors cette partie est soit vide, soit un point soit une sphère.

section

Je vous propose de le résoudre et, si le coeur vous en dit, de voir jusqu’à quel point cette propriété se généralise en toute dimension.

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4 réactions sur “A propos des sphères.

  1. Soit S cette partie. On suppose que S contient au moins 2 points et on veut montrer que S est une sphère. D’abord, en considérant un plan contenant ces deux points, on voit que S contient un cercle C. Choisissons un diamètre AB du cercle C. Le plan P contenant AB et perpendiculaire à C intersecte S en au moins deux points, donc en un cercle C’.

    Remarquons que si X,Y, Z sont trois points distincts de S, alors ils ne sont pas alignés, et S contient le cercle circonscrit au triangle XYZ. En effet, un plan contenant X, Y, Z doit intersecter S en un cercle contenant X, Y et Z.

    Soient P et Q les deux points diamétralement opposés du cercle C’ tels que PQ soit orthogonal à AB. Lorsque le point M décrit le cercle C, le cercle circonscrit au triangle PQM décrit la sphère S’ dont C’ est un grand cercle, donc S contient S’.

    Il reste à prouver que S=S’. Soit O le centre de S’. Pour tout point M de S, la droite OM coupe S’ en deux points distincts. Comme trois points quelconques de S ne sont pas alignés, M est l’un de ces deux points donc M appartient à S’, ce qui prouve que S est inclus dans S’.

  2. Bien trouvé!

    Je n’ai pas de solution à proposer car je n’ai pas cherché à résoudre le problème. Mais on trouverait difficilement plus simple que cela!

    🙂

  3. C’est en effet un joli problème, et qui admet une jolie solution, mais je le connaissais (un collègue m’avait posé cette colle il y a quelques mois).

    Par contre, la généralisation, je ne connais pas…

    • J’ai l’impression que cela fonctionne en dimension trois et plus (avec une adaptation évidente) mais je n’ai encore rien tenté.

      Clairement, cela ne fonctionne pas en dimension 2.

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