Produits scalaires et polynômes de Lagrange

En principe, lorsqu’on enseigne la notion de produit scalaire de façon un tant soit peu abstraite, on se doit de fournir à titre d’exemples autre chose que des avatars banals du produit standard de \mathbb{R}^m.

Ainsi, depuis plusieurs années, je présente à mes étudiants des produits scalaires particuliers de l’espace \mathcal{P}_n=\mathbb{R}_{\leq n}[x] des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n en l’indéterminée x.

Ils sont fabriqués sur le modèle suivant(*) et, comme on va le voir, cela permet incidemment d’illustrer certains faits qu’il est bon de leur rappeler à l’occasion.

La construction consiste à associer un produit scalaire g à une suite donnée de nombres strictement croissante, u_0 < \cdots  < u_n, par la formule

g(P,Q)=\sum_{i=0}^n(PQ)(u_i)

Vérifier que g est un produit scalaire est aisé. Il est clair qu’il est bilinéaire et symétrique et que

\forall P\in\mathcal{P}_n:\quad g(P,P)=\sum_{i=0}^nP(u_i)^2\geq 0

La forme g est donc définie positive car si g(P,P)=0 alors le polynôme P s’annule sur les u_i. Il est dès lors nul puisqu’un polynôme non nul de degré n n’a pas plus de n zéros.

En fait, par définition de g, l’application linéaire

\varphi:P\in\mathcal{P}_n\mapsto (P(u_0),\ldots,P(u_n))\in\mathbb{R}^{n+1}

est est une isométrie , \mathbb R ^{n+1} étant muni du produit scalaire standard(**), et c’est une bijection car les espaces \mathcal{P}_n et \mathbb R ^{n+1} ont la même dimension.

Les bases orthonormées de (\mathcal{P}_n,g) sont donc les bases (P_0,...,P_n) pour lesquelles

(\varphi(P_0),...,\varphi(P_n))

est une base orthonormée de (\mathbb{R}^{n+1},g_0). En particulier, (\mathcal{P}_n,g) admet une base \mathbf{E}=(E_0,...,E_n) dont l’image par \varphi est la base canonique \mathbf{e}=(\vec{e}_0,...,\vec{e}_n) de \mathbb R ^{n+1}. Elle est donc caractérisée par

(1) \forall i,j : \quad E_i(u_j)=\delta_{ij}

De plus, par définition de \mathbf{E},

(2) \forall P\in \mathcal{P}_n,\quad P=\sum_{i=0}^nP(u_i)E_i

Les polynômes E_i sont donc les polynômes d’interpolation de Lagrange associés aux nombres u_i. Comme le montre la dernière formule, ils permettent de construire le polynôme de degré minimum prenant des valeurs prescrites en les valeurs u_i de l’indéterminée — c’est leur vocation. Ils sont donnés par les formules(***) :

E_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-u_j}{u_i-u_j}

Par exemple, pour n=2 et (u_0,u_1,u_2)=(-1,0,1),

\left\{\begin{array}{rcl}E_0&=&\frac{1}{2}(-x+x^2)\\E_1&=&1-x^2\\E_2&=&\frac{1}{2}(x+x^2)\end{array}\right.

et, vu (2),

\left\{\begin{array}{ccl}1&=&E_0+E_1+E_2\\x&=&-E_0+E_2\\x^2&=&E_0+E_2\end{array}\right.

Nous allons orienter \mathcal{P}_n en déclarant la base \mathbf{E} positive, autrement dit, en faisant de \varphi une isométrie positive pour l’orientation canonique de \mathbb R ^{n+1} (celle pour laquelle \mathbf{e} est une base positive).

Vu (2), le produit mixte associé à g et à cette orientation est facile à calculer :

\forall P_0,...,P_n\in\mathcal{P}_n : \quad [P_0,...,P_n]=\det\left(P_i(u_j)\right)_{0\leq i,j\leq n}

En particulier, comme les u_i sont rangés par ordre croissant, la base naturelle (1,x,...,x^n) de \mathcal{P}_n est positive. En effet, le produit mixte de ses éléments

[1,...,x^n]=\det\left(\begin{array}{ccc}1&\cdots&u_0^n\\ \vdots&&\vdots\\1&\cdots&u_n^n\end{array} \right)

en lequel on reconnaît un déterminant de Vandermonde, vaut :

\prod_{i>j}(u_i-u_j)

Il est donc positif.

Le produit vectoriel associé à g et à l’orientation choisie de \mathcal{P}_n peut également être facilement calculé au moyen des formules (2) en profitant du fait que \mathbf{E} est une base orthonormée positive. A titre d’illustration, avec n=2 et (u_0,u_1,u_2)=(-1,0,1) comme ci-dessus, on a par exemple

1\wedge x^2=(E_0+E_1+E_2)\wedge(E_0+E_2)=E_1\wedge(E_0+E_2)=-E_2+E_0=-x

__________
(*) Naïvement, je croyais la construction originale mais elle ne l’est pas car j’en ai vu une fois un cas particulier, cité à titre d’exemple, sur une page internet dont j’ai malheureusement oublié l’adresse. Toutefois, les propriétés signalées dans ce billet, dont je n’ai pris conscience que récemment en préparant un cours, n’y figuraient pas. J’ignore l’origine première de ces produits scalaires. En pratique, en cours, je prends n égal à 2 ou à 3 et donne des valeurs numériques explicites aux u_i.
(**) Nous le noterons g_0.
(***) C’est clair : les polynômes définis par celles-ci vérifient évidemment les relations (1).

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2 réactions sur “Produits scalaires et polynômes de Lagrange

  1. Merci pour cet article !
    J’enseigne dans moins de quinze jours les espaces euclidiens à mes élèves. Je vais fortement m’inspirer de ton exemple.

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