Une remarque à propos des céviennes

Le présent billet m’a été inspiré par une jolie solution à cet exercice proposée par Math O’ Man. Je vais présenter ici son idée dans ce qui me semble être son cadre naturel, un peu plus général que celui de l’article en question.

Considérons un triangle ABC et des points A',B',C' situés respectivement sur les côtés BC, CA et AC, et distincts des sommets. On suppose que les droites AA',BB' et CC' concourent en un point I(*).

Nous orientons le bord du triangle, et par extension ses côtés, selon l’ordre alphabétique des noms des sommets : de A vers B, etc.

La question est d’examiner jusqu’à quel point, lorsqu’on déplace les points A',B', C' dans le même sens le long du périmètre du triangle, on peut affirmer à coup sûr que les droites AA',BB',CC' cessent d’avoir un point commun, comme le suggère la figure suivante :

cevienne

Il faut être prudent avec l’intuition car voici un exemple où A'' est avant A', B'' avant B' et C'' avant C' et où, pourtant, AA'', BB'', CC'' ont un point commun.

cevenne_2

Pour y voir un peu plus clair, nous allons utiliser le théorème de Céva. D’après celui-ci, les droites AA',BB', CC' étant concourantes, le produit des rapports de sections des points A' etc. par rapport aux côtés sur lesquels ils sont situés vaut 1. Plus précisément,

(1) \sigma_{A,B}(C')\sigma_{B,C}(A')\sigma_{C,A}(B')=1

La réciproque est vraie à condition de l’entendre au sens projectif, c’est-à-dire convenir que des droites parallèles sont concourantes.

Pour rappel, étant donné un point X d’une droite PQ, les vecteurs \overrightarrow{PX} et \overrightarrow{XQ} sont des multiples de \overrightarrow{PQ}, disons u et v respectivement, et

\sigma_{P,Q}(X)=\frac{u}{v}

En particulier, lorsque X est dans le segment [P,Q],

\sigma_{P,Q}(X)=\frac{\|\overrightarrow{PX}\|}{\|\overrightarrow{XQ}\|}

est positif et croît strictement lorsque X évolue de P vers Q(**).
Il résulte alors de ceci que

Si I est intérieur au triangle ABC, lorsqu’on déplace dans le même sens les points A',B',C' le long du bord de celui-ci, les droites AA', BB' et CC' cessent d’être concourantes.

En effet, le point I étant intérieur au triangle, les rapports de sections figurant dans le membre de gauche de (1) sont positifs et, lorsqu’on déplace les pieds des céviennes dans le même sens en restant sur le bord du triangle, ils varient de la même manière : soit ils augmentent chacun, soit ils diminuent tous les trois. La conclusion résulte alors du théorème de Céva.

Ce raisonnement ne tient pas si certains des points A',B',C' sont sur les prolongements des côtés du triangle car alors, en valeur absolue, les rapports de sections considérés ne varient plus nécessairement dans le même sens.

Comme il s’agissait juste de faire une remarque amusante, je n’analyserai pas plus avant la question.
__________
(*) On dit alors que ce sont des céviennes du triangle.
(**) En X=Q, ce rapport de section n’est pas défini.

3 réflexions sur “Une remarque à propos des céviennes

  1. C’est intéressant, merci pour tout ce travail fait ! Ma preuve ne marche que pour l’exercice initialement posé où vous avez écrit « il faut supposer le triangle acutangle » (de sorte que l’orthocentre est à l’intérieur du triangle).
    Pour l’autre cas elle s’adapte dès qu’on énoncé la question correctement — ce qui est la seule difficulté… (au lieu d’adapter la preuve on peut passer par prolongement analytique.)

    PS : Quel logiciel utilisez-vous pour faire ces dessins ?

  2. A propos de l’orientation du bord du triangle, on aura sans doute compris ce que je voulais dire. Cependant, parler de l’ordre alphabétique des sommets n’est pas très correct, s’agissant par exemple d’aller de C vers A. Désolé!😦

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