Régions déterminées par des droites d’un plan II – Les tangentes à une courbe

J’ai discuté dans ce texte du nombre maximum r(d) de régions en lesquelles d droites d’un plan affine \mathcal E partagent celui-ci, affirmant qu’il vaut

r(d)=1+d+{d\choose 2}

sans trop insister sur le fait que cette borne est atteinte.

D’après le billet en question, cela revient à vérifier qu’il existe d droites se coupant deux à deux en d(d-1)/2 points distincts, à raison d’un point par paire de droites. L’affirmation semble évidente. Reconnaissons cependant qu’en géométrie, le degré d’évidence d’un fait dépend beaucoup de la manière selon laquelle celle-ci est introduite(*), surtout lorsque le fait est de nature topologique.

Nous allons voir ici qu’il existe des familles infinies de droites qui sont deux à deux sécantes sans que trois d’entre elles aient un point commun. Nous dirons de droites ayant cette propriété qu’elles sont en position générale .

Nous allons d’abord montrer que l’ensemble des tangentes à une parabole \mathcal  P non dégénérée de \mathcal E a la propriété puis nous généraliserons cet exemple.

Dans un repère approprié, la parabole \mathcal{P} est le graphe de la fonction x\mapsto x^2. La tangente à \mathcal{P} au point d’abscisse u est alors la droite \mathcal{T}_u d’équation

\alpha_u\equiv 2ux-y-u^2=0

Il est clair que si u\neq v, le système d’équations \alpha_u=0,\alpha_v=0 admet une seule solution : \mathcal{T}_u et \mathcal{T}_v sont sécantes.

Par contre, si u<v<w alors le système \alpha_u=0,\alpha_v=0,\alpha_w=0 est incompatible car le déterminant

\det\begin{pmatrix}2u&-1&-u^2\\2v&-1&-v^2\\2w&-1&-w^2\end{pmatrix}=-2(w-u)(w-v)(v-u)

n’est pas nul : \mathcal{T}_u, \mathcal{T}_v et \mathcal{T}_w n’ont pas de point commun. Ceci achève de prouver que les tangentes à la parabole \mathcal P sont en position générale. En conséquence :

Les tangentes à une parabole en d points choisis arbitrairement partagent toujours son plan en r(d) régions.

parabole

Cinq tangentes à une paraboles partagent le plan en 16 régions.

Voici un exemple de courbe, une cubique, ayant des tangentes qui ne sont pas en position générale.

cubique

Cinq tangentes d'une cubique ne partageant le plan qu'en 14 régions.

Ceci est dû à la présence d’un centre de symétrie : en des points symétriques par rapport à celui-ci, les tangentes sont parallèles. Comme il est situé sur la courbe elle-même, on trouvera toujours des tangentes parallèles aussi près qu’on veut de ce point.

La généralisation que j’ai en vue est celle-ci(**) :

Tout point d’un arc régulier de courbe de \mathcal{E} en lequel la courbure n’est pas nulle admet un voisinage dans lequel les tangentes à l’arc sont en position générale.

Dans un repère convenable, un voisinage assez petit d’un point d’un arc régulier de courbe peut toujours être décrit comme le graphe \mathcal{G}_f d’une fonction de classe C^2 au moins:

f:x\in]a,b[\mapsto f(x)\in\mathbb R

La courbure de \mathcal{G}_f en le point d’abcisse x est donnée par la formule

\kappa(x) =|f''(x)|(1+f'(x)^2)^{-3/2}

Supposons que \kappa ne s’annule en aucun point de l’intervalle ]a,b[, autrement dit que f''(x) est de signe constant dans cet intervalle. Nous allons en déduire que les tangentes à \mathcal{G}_f sont en position générale, ce qui prouvera la propriété annoncée.

D’après l’hypothèse, la dérivée f' est injective. En particulier, en des points d’abscisses différentes, les tangentes à \mathcal{G}_f ont des coefficients angulaires distincts et sont donc sécantes.

Pour conclure, il reste à voir que les tangentes en trois points d’abscisses u<v<w n’ont jamais de point commun. La tangente au point d'abscisse s admettant l'équation

f'(s)x -y+f(s)-sf'(s)=0

tout revient à montrer que le déterminant

\Delta=\det\begin{pmatrix}f'(u)&-1&f(u)-uf'(u)\\f'(v)&-1&f(v)-vf'(v)\\f'(w)&-1&f(w)-wf'(w)\end{pmatrix}

n’est pas nul. Il vaut

\det\begin{pmatrix}f'(v)-f'(u)&f(v)-vf'(v)-[f(u)-uf'(u)]\\f'(w)-f'(u)&f(w)-wf'(w)-[f(u)-uf'(u)]\end{pmatrix}

D’après le théorème des accroissements finis généralisé(***) appliqué aux fonctions x\mapsto f(x)-xf'(x) et f', il existe des nombres \xi,\eta tels que u<\xi<v<\eta<w et

\left\{\begin{matrix}f(v)-vf'(v)-[f(u)-uf'(u)]=-\xi[f'(v)-f'(u)]\\f(w)-wf'(w)-[f(u)-uf'(u)]=-\eta[f'(w)-f'(u)]\end{matrix}\right.

Dès lors

\Delta=[f'(v)-f'(u)][f'(w)-f'(u)](\xi-\eta)\neq 0

et le tour est joué.

__________
(*) Il s’agit de la géométrie euclidienne de dimension 2. L’évidence s’estompe à mesure que la dimension croît …
(**) Nous considérons des arcs réguliers deux fois continûment dérivables.
(***) Si F,G:[s,t]\to \mathbb{R} sont continus, s’ils sont dérivables dans ]s,t[ et si G' est sans zéro dans ]s,t[, alors il existe r\in ]s,t[ tel que

\frac{F(t)-F(s)}{G(t)-G(s)}=\frac{F'(r)}{G'(r)}

Dans notre cas, F'(r)=-rf''(r) et G'(r)=f''(r) et on utilise encore l’hypothèse selon laquelle f'' n’a pas de zéro dans ]a,b[ pour appliquer le théorème.

6 réflexions sur “Régions déterminées par des droites d’un plan II – Les tangentes à une courbe

  1. Il y a un moyen non constructif pour démontrer le résultat. Considérons n droites D_1,\ldots, D_n d’équations

    a_i x + b_i y + c_i =0 (i=1,…,n).

    Deux droites D_i et D_j sont sécantes si et seulement si \delta_{ij} = a_i b_j - a_j b_i est non nul,

    Trois droites D_i, D_j et D_k ne sont pas concourantes si et seulement si le déterminant \Delta_{ijk} dont les lignes sont a_i,b_i,c_i, etc. est non nul.

    Le produit des \delta_{ij} et des \Delta_{ijk} étant un polynôme non formellement nul à 3n variables, il n’induit pas la fonction nulle. Plus précisément, l’ensemble de ses zéros est un fermé de Zariski différent de \mathbb{R}^{3n}, donc est d’intérieur vide pour la topologie usuelle.

    On en déduit l’existence de n droites deux à deux sécantes telles que trois d’entre elles ne sont pas concourantes.

  2. Merci, c’est une jolie façon de voire les choses.
    Pour le cas dénombrable, je vois me semble-t-il comment l’étendre (avec le théorème de Baire). Mais qu’en est-il pour le cas non dénombrable?

  3. Effectivement, le théorème de Baire permet de montrer l’existence d’une famille dénombrable de droites telle que toute sous-famille finie est en position générale, mais pas d’une famille non dénombrable de droites.

    Voici un argument non constructif permettant de le faire.
    Comme R est une extension de degré de transcendance infini non dénombrable sur Q, il existe un ensemble infini I et une famille de réels a_i, b_i (i\in I) algébriquement indépendante sur Q. Soit D_i la droite d’équation a_i x+ b_i y +1=0. Alors les \delta_{ij} et les \Delta_{ijk} sont non nuls donc toute sous-famille finie de (D_i) est en position générale.

  4. Il y a une erreur dans la dernière preuve, que l’on peut corriger facilement.

    Comme présenté dans le texte actuel, il n’est pas garantit que \xi\neq\eta mais seulement que u<\xi,\eta<w, ce qui n'exclut pas la possibilité d'avoir \xi=\eta.

    Pour corriger cela, et effectivement avoir u<\xi<v<\eta<w, il faut, dans \Delta, ôter la seconde ligne des deux autres et non la première.

    Désolé!

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