Une formule pour l’aire d’un triangle donné par ses côtés

En réfléchissant aux droites en positions générales, je me suis incidemment demandé comment exprimer l’aire \mathcal A d’un triangle au moyen des coefficients d’équations de ses côtés,

a_ix+b_iy+c_i=0, \quad i=1,2,3,

écrites dans un repère orthonormé de son plan.

Posons

M=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}

et notons \mu_i le cofacteur de c_i dans cette matrice.

Nous avons alors

\mathcal A=\frac 1 2 (\det M)^2/|\mu_1\mu_2\mu_3|

J’ai deux vérifications de cette formule que je ne connaissais pas il y a peu — une élémentaire mais un rien laborieuse, l’autre un peu sophistiquée mais plus éclairante(*). Je lirai les vôtres avec plaisir.🙂

__________
(*) Celle-ci s’adapte en dimension quelconque et donne une expression analogue de la mesure d’un simplexe en terme des coefficients d’équations de ses faces. Je reviendrai peut-être là-dessus dans un autre billet.

4 réflexions sur “Une formule pour l’aire d’un triangle donné par ses côtés

  1. Voici une méthode « à pied » en deux étapes :

    1) D’abord on remarque que la formule proposée est bien invariante par translation de l’origine de repère. En effet, changer O en O’ revient à remplacer dans les équations x par x+r’ et y par y+t’ ; alors la nouvelle matrice M’ s’obtient en ajoutant à la dernière colonne de M une combinaison linéaire des deux premières colonnes. En particulier les trois cofacteurs ne changent pas et det(M)=det(M’).

    2) On peut donc supposer que l’intersection des deux premières droites est l’origine. On calcule alors facilement les coordonnées des deux autres sommets du triangle, puis on vérifie la formule sans aucun problème (moitié du déterminant…).

    Rque : Evidemment on peut faire sans 1) et toute suite calculer (rapide avec Cramer) tous les trois points d’intersection, mais c’est un peu plus long.

    • C’est effectivement les formules de Cramer pour obtenir les coordonnées des sommets que j’ai utilisées dans la méthode élémentaire. Je préfère conserver la symétrie en les données plutôt que d’utiliser votre étape 1).

  2. Tout d’abord, on vérifie que dans un espace Euclidien E de dimension 3, pour tous vecteurs x,y,z on a la relation

    [x\wedge y, y\wedge z, z\wedge x] = [x,y,z]^2.

    En effet, ceci est vrai lorsque (x,y,z) est une base orthonormée directe. De plus, on vérifie immédiatement que si elle est vraie pour (x,y,z) alors elle est vraie pour (ax,y,z), (y,x,z), (x,z,y), (x+ay,y,z) quel que soit a réel. Comme toute famille de trois vecteurs s’obtient à partir d’une base orthonormée directe en effectuant de telles opérations élémentaires, la relation est vraie pour tous x,y,z.

    Considérons les 3 plans H_i d’équations
    a_ix+b_iy+c_iz=0, \quad i=1,2,3.

    Soit H le plan d’équation z=1. Ces quatre plans déterminent un tétraèdre OABC, O étant l’origine, A=H_2\cap H_3\cap H, B=H_3\cap H_1\cap H, C=H_1\cap H_2\cap H. On doit déterminer l’aire de ABC. Celle-ci est égale au triple du volume de OABC.

    Soient u,v,w les vecteurs de coordonnées a_i,b_i,c_i. Les plans H_i sont les orthogonaux de u,v,w respectivement. Notons \vec{Z}=(0,0,1).

    Le vecteur \overrightarrow{OA} est orthogonal à v et w donc est de la forme a v\wedge w. Comme A appartient à H, on a 1= \overrightarrow{OA}.\vec{Z}= a [v,w,\vec{Z}]. On raisonne de manière analogue pour B et C.

    Comme le volume du tétraèdre OABC est égal à (1/6) |[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|,
    l’aire de ABC vaut (1/2)|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|, ce qui est égal à
    (1/2)|[a v\wedge w, b w\wedge u, c u\wedge v]|=(1/2) [u,v,w]^2 |abc|.

    Comme [u,v,w] est égal au déterminant de M, et comme a,b,c sont les inverses des cofacteurs des c_i, on obtient bien la formule.

    • Cette méthode est de la même veine que la seconde méthode que j’ai annoncée.
      J’y considère également le plan du triangle comme le plan d’équation z=1 puis je calcule le volume du tétraèdre dont les sommets sont l’origine de \mathbb{R}^3 et les sommets du triangle, d’une autre manière que vous.

      Une remarque : on peut obtenir directement la première identité à l’aide de la formule du double produit vectoriel. Ainsi

      [x\wedge y,y\wedge z,z\wedge x]=[(x\wedge y)\wedge(y\wedge z)]\cdot(z\wedge x)=[x\cdot (y\wedge z)][y\cdot(z\wedge x)]=[x,y,z]^2

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