Mesure d’un simplexe donné par ses faces

Je vais généraliser ici le résultat proposé dans ce billet.

Le problème consiste à exprimer la mesure d’un simplexe \Delta d’un espace affine euclidien \mathcal E de dimension n au moyen des coefficients d’équations

a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n+b_i=0,\quad i=0,...,n

de ses faces, écrites dans un repère orthonormé de l’espace.

On pose

M=\begin{pmatrix}a_{01}&\cdots&a_{0n}&b_0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}&b_n\end{pmatrix}

et on désigne par \mu_i le cofacteur de b_i dans cette matrice. Il vient alors

\mathrm{mes}(\Delta)=\frac{1}{n!}|\det M|^{n}/|\mu_0\cdots\mu_n|

Voici une vérification. Quitte à changer de signe les deux membres d’une ou l’autre des équations des faces, ce qui ne modifie pas la formule, nous pouvons supposer que \Delta est le lieu des points dont les coordonnées sont les solutions du système d’inéquations

a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n+b_i\geq0,\quad i=0,...,n

Semblablement, quitte à changer l’orientation d’un des axes du repère, nous pouvons supposer ensuite que

(1) \det M >0

Considérons alors le simplexe \overline{\Delta} de \mathbb{R}^{n+1} formé des points dont les coordonnées sont les solutions des inéquations

\left\{\begin{matrix}a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n+b_ix_{n+1}\geq 0,\quad i=0,...,n,\\ 0\leq x_{n+1}\leq 1\end{matrix}\right.

Puisque l’origine, un des sommets de \overline{\Delta}, est à distance 1 de la face opposée, on a

(2) \mathrm{mes}(\overline{\Delta})=\frac{1}{n+1}\mathrm{mes}(\Delta)

Faisons alors le changement de variables défini par les relations

y_i=a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n+b_ix_{n+1},\quad i=0,...,n

D’après les formules de Cramer,

x_{n+1}=\sum_{i=0}^n\frac{\mu_i}{\det M}y_i

et, vu (1), l’image \Delta' de \overline{\Delta} par ce changement de variables est l’ensemble des solutions des inéquations

y_0\geq 0,...,y_n\geq 0

et

0\leq \mu_0y_0+\cdots+\mu_ny_n\leq\det M

Il s’agit donc quasiment du simplexe standard à ceci près que les côtés issus de l’origine sont de longueur

\det M/|\mu_i|

plutôt que 1. Sa mesure est donc

(3) \mathrm{mes}(\Delta')=\frac{1}{(n+1)!}(\det M)^{n+1}/|\mu_0\cdots\mu_n|

Or, d’après le théorème de changement de variables dans les intégrales, compte tenu de (1),

\mathrm{mes}(\Delta')=(\det M) \mathrm{mes}(\overline{\Delta})

D’où le résultat, en combinant (2) et (3).😉

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