Calcul rapide du déterminant de Vandermonde

Juste une remarque en passant.

Il s’agit de calculer

(1) V(x_1,...,x_n)=\det\begin{pmatrix}1&x_1&\cdots&x_1^{n-1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&x_n&\cdots&x_n^{n-1}\end{pmatrix}

Posons

p(u)=(u-x_1)\cdots(u-x_{n-1})=\sum_{0\leq i<n}a_iu^i

avec a_{n-1}=1. Puisque p s’annule en x_1,...,x_{n-1}, en remplaçant la dernière colonne, C_{n-1}, du déterminant (1) par \sum_{0\leq i<n} a_iC_i, on obtient

V(x_1,...,x_n)=\det\begin{pmatrix}1&x_1&\cdots&x_1^{n-2}&0\\\vdots &\vdots&&\vdots&\vdots\\1&x_{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-2}&0\\[1ex]1&x_n&\cdots&x_n^{n-2}&p(x_n)\end{pmatrix}=p(x_n)V(x_1,...,x_{n-1})

De là

\begin{array}{rcl}V(x_1,...,x_n)&=&(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})V(x_1,...,x_{n-1})\\&=&\cdots\\[1ex]&=&\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\end{array}

car V(x_1,x_2)=x_2-x_1. 😉

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5 réflexions sur “Calcul rapide du déterminant de Vandermonde

    • J’aime bien ta preuve également!

      Finalement, l’important, c’est d’avoir des idées et de savoir les exploiter. Or être original sur des sujets hyper-classiques n’est pas simple car les ornières sont profondes aux alentours.

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