La règle de Hörner et le théorème du rang

On trouvera ici une variante pdf de ce billet.

Le but est d’établir la règle de Hörner :

(1) Le reste de la division d’un polynôme P par x-a est P(a)

par des arguments de dimension.

On désigne par \mathbb{K} l’ensemble des réels ou des complexes(*) et par \mathbb{K}_{\leq n}[x] l’espace des polynômes en l’indéterminée x, à coefficients dans \mathbb{K} et de degré au plus n. Cet espace est de dimension n+1.

Voici alors comment prouver (1) en utilisant le théorème du rang :

(2) Soient des \mathbb{K}-espaces vectoriels E, F de dimension finie et une application linéaire \varphi: E\to F. On a

\dim(E)=\dim(\ker \varphi)+\dim(\mathrm{im\ }\varphi)

D’un côté, il est clair que l’application linéaire

\tau: P\in\mathbb{K}_{\leq n}[x]\mapsto P(a)\in\mathbb{K}

est surjective. Par conséquent, d’après (2),

\dim(\ker\tau)=\dim(\mathbb{K}_{\leq n}[x])-1=n

D’un autre côté, l’application linéaire

\sigma : Q\in\mathbb{K}_{\leq n-1}[x]\mapsto (x-a)Q\in\mathbb{K}_{\leq n}[x]

est injective, de sorte que

\dim(\mathrm{im\ } \sigma)=\dim(\mathbb{K}_{\leq n-1}[x])=n

Or \mathrm{im\ } \sigma \subset \ker \tau. Dès lors, ces deux espaces sont égaux puisqu’ils ont la même dimension.

Pour tout P\in \mathbb{K}_{\leq n}[x], P-P(a), qui est dans le noyau de \tau, est donc dans l’image de \sigma : il existe Q\in \mathbb{K}_{\leq n-1} tel que P=P(a)+(x-a)Q. Le tour est joué. 😉

__________
(*) On peut être plus général mais je laisse le soin à des lecteurs plus avisés que je ne le suis en algèbre de voir à quels corps ou anneaux ce qui suis s’applique.

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5 réflexions sur “La règle de Hörner et le théorème du rang

  1. Voici deux autres preuves :

    – En utilisant le théorème de division euclidienne : P peut s’écrit P=(X-a)Q+R avec deg(R)<1. Donc R est une constante, et on trouve la constante en évaluant en a.

    – Sans utiliser le théorème de division euclidienne : tout polynôme M s'écrit évidemment M=M(0)+XN où N est un autre polynôme. On applique ceci à M=P(X+a) et on compose par X-a.

    • Elles sont toutes les deux expéditives.
      J’aime encore bien la seconde.

      Pour ma part, c’était l’intervention du théorème du rang que je trouvais amusante.

  2. J’ai beaucoup aimé votre preuve du déterminant de Vandermonde (la seule courte que je connaissais était celle proposée par PB) et je l’utiliserai dans mon prochain cours.

    Mais concernant ce que vous appelez « règle de Horner », je dois dire que l’idée de prouver un résultat aussi immédiat par une manière aussi longue et trodue ne me plaît pas ;-(

  3. Il est vrai qu’en comparaison, par exemple, de celles rappelées par PB, elle paraît trop sophistiquée.

    Personnellement, je trouvais le rapprochement entre le théorème du rang et les polynômes amusant, comme certains qui me l’on dit par ailleurs.

    Mais il ne me viendrais pas non plus à l’idée de l’utiliser dans un cours 😉

  4. Il y a aussi un autre avantage de la méthode de classique, c’est qu’on peut la généraliser pour trouver le reste de la division polynomiale de P par Q si on connaît toutes les racines de Q avec leurs multiplicités. Si Q est de degré n cela amène à un système avec n inconnues et n équations…
    Ici c’est le cas particulier avec n=1.

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