Une identité toute simple … et pourtant!

Voici quelque chose de très élémentaire qui, cependant, ne laisse pas de m’intriguer!

Il y a bien longtemps — la mémoire de cette sorte de dates, dont un professeur devrait se souvenir, me fait hélas défaut — j’ai appris des produits remarquables, au nombre desquels

x^2-y^2=(x-y)(x+y)

que j’aurais pu écrire

(m-n)(m+n)=m^2-n^2

Peu importe les lettres utilisées pour présenter cela mais on factorise ou on effectue, et ce n’est pas indifférent, en principe!

Lorsqu’on factorise, on résout l’équation du second degré ax^2+bx+c=0, a\neq 0, car

ax^2+bx+c=a\left[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]

de sorte que si on dispose d’un y tel que

y^2=b^2-4ac

alors on obtient deux solutions (-b\pm y)/2a. Ce sont les seules pour autant que nous sachions que l’unique façon d’annuler un produit est d’annuler un de ses facteurs.

Lorsqu’on effectue, on résout la même équation, en cherchant ses solutions sous la forme u\pm v. Leur somme -b/a fournit u=-b/(2a) et leur produit c/a nous donne alors le carré de v:

v^2=u^2-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

Notre produit remarquable semble donc jouer un rôle clé dans la résolution de l’équation du second degré. Lorsqu’il n’est pas disponible, cette équation peut présenter des propriétés bien différentes de celles auxquelles nous sommes accoutumés. Si le produit n’est pas commutatif, l’identité n’est généralement pas vérifiée et l’équation du second degré peut avoir une infinité de solutions. C’est le cas de x^2+1=0 dans l’algèbre des quaternions et, a fortiori, dans celle des matrices carrées.

A méditer …

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3 réactions sur “Une identité toute simple … et pourtant!

  1. Bonjour,
    Probablement je n’ai pas saisi tout à fait le sens de votre article: « Une identité toute simple… »;
    si x1=(-b+rac D)/2a et x2=(-b-rac D)/2a sont les racines de l’équation (avec D=b carré- 4ac) lorsque vous voulez effectuer (x-x1)(x-x2) peut se mettre sous la forme:
    (2ax+b) carré – (rac D) carré et redonne évidemment l’équation en applic. le produit remarquable. André.

  2. La première chose que je voulais souligner, c’est le rôle de l’identité en question dans la résolution de l’équation du second degré (disons dans l’ensemble des nombres complexes, pour fixer les idées), en faisant observer qu’on obtient des manières différentes de résoudre l’équation selon qu’on factorise ou qu’on effectue et en faisant observer aussi que lorsque le produit remarquable en question n’est pas disponible — mais on n’est plus en nombres complexes dans ce cas, les propriétés de l’équation du second degré sont éventuellement différentes.

    Mais en réfléchissant un peut au problème, je me rend compte que c’est probablement plutôt la non commutativité de la multiplication qui est à l’origine de ces éventuelles différences.

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