Deux remarques sur l’aire des parallélogrammes

Suite à une discussion sur un forum consacré aux mathématiques s’est posée la question d’exprimer l’aire d’un parallélogramme en termes d’équations de ses côtés. La formule est très simple et vaut d’être notée :

Si, dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, les paires de côtés parallèles d’un parallélogramme \mathcal{P} admettent les équations ax+by+c_i=0 et px+qy+r_i=0, i=1,2, alors son aire vaut

A(\mathcal{P})=\vert c_1-c_2\vert\vert r_1-r_2\vert/\vert aq-pb \vert

Avec les notations de la figure ci-dessus où \mathcal{P} est représenté, d,d' désignant les distances entre les côtés — les « hauteurs » du parallélogramme, l’aire de celui-ci vaut

(1) A(\mathcal{P})=dd'/\sin\alpha

Deux observations suffisent alors pour conclure.

i) L’angle \alpha est par exemple celui que font les droites d’équations ax+by+c_1=0 et px+qy+r_1=0 lesquelles admettent les vecteurs directeurs de composantes (-b,a) et (-q,p). Dès lors

(2) \sin\alpha=\frac{\vert\det\begin{pmatrix}-b&-q\\ a&p\end{pmatrix}\vert}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{p^2+q^2}} =\frac{|aq-pb|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{p^2+q^2}}

ii) Par ailleurs, la distance entre les parallèles d’équations ux+vy+w_i=0, i=1,2, est

(3) |w_1-w_2|/\sqrt{u^2+v^2}

En effet, la distance entre les deux droites est la somme des distances à chacune d’un point P situé entre elles. Les coordonnées (x_0,y_0) de ce point donnent des signes opposés aux premiers membres des équations des droites. Par exemple, positif pour i=1 et négatif pour i=2, auxquel cas les distances de P aux droites sont alors(*)

(ux_0+vy_0+w_1)/\sqrt{u^2+v^2}\quad \&\quad -(ux_0+vy_0+w_2)/\sqrt{u^2+v^2}

D’où (3).

En combinant (1), (2) et en appliquant (3) aux paires de côtés parallèles de \mathcal{P}, on obtient aussitôt la formule annoncée pour son aire.

La formule (1) a encore une autre utilité : elle permet d’évaluer facilement le rapport de l’aire de \mathcal{P} au carré de son périmètre. On trouve aisément

\varrho_\mathcal{P}:=\frac{A(\mathcal{P})}{P(\mathcal{P})^2}=\frac 1 4 \frac{dd'}{(d+d')^2}\sin\alpha

Il en résulte que le rapport de l’aire d’un parallélogramme au carré de son périmètre ne dépasse pas 1/16, valeur qu’il atteint si, et seulement si, le parallélogramme est un carré.

En effet, on peut encore écrire

\varrho_\mathcal{P}=\frac 1 4 \frac{1}{(\frac{d}{d'}+\frac{d'}{d})+2}\sin\alpha

La propriété résulte alors du fait que

\frac{d}{d'}+\frac{d'}{d}\geq 2

l’égalité ayant lieu si, et seulement si, d=d'.

__________
(*) Pour rappel la distance de P(x_0,y_0) à la droite d’équation ax+by+c=0 est

|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}

Une réflexion sur “Deux remarques sur l’aire des parallélogrammes

  1. Il y a plus simple pour établir (3): la distance entre les deux parallèles est aussi la distance entre un point P(x_0,y_0) de l’une et la seconde. Si P appartient à la droite d’équation relative à i=1, alors ux_0+vy_0=-w_1 et la formule rappelée en note en bas de page, (*), donne alors immédiatement la réponse cherchée.

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