Un petit déterminant en passant

Il y a fort à parier que l’exercice suivant ne résistera pas bien longtemps à votre sagacité mais je le pose quand même car il est amusant.

Dans l’ensemble des matrices carrées (réelles ou complexes) de taille n, quel est le déterminant de la multiplication à gauche

\gamma_A: B\mapsto AB

par une matrice donnée A?

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8 réactions sur “Un petit déterminant en passant

  1. On a \det(\gamma_A)=(\det A)^n.

    Preuve :

    Si A est singulière c’est évident car dans ce cas \gamma_A n’est pas bijective et donc son déterminant est nul.

    Considérons donc la cas où A est inversible. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre). Or il est facile de vérifier l’égalité en question pour ces trois types de matrices (par exemple en écrivant l’application dans la base canonique de l’espace des matrices), et comme le déterminant conserve la multiplication le tour est joué.

  2. Bravo! J’aime assez bien cette preuve car elle s’applique à des coefficients plus généraux, me semble-t-il, que les réels et les complexes.

    Pour ma part, j’avais raisonné comme ceci : c’est évident pour une matrice diagonale; si c’est vrai pour une matrice ce l’est pour celles qui lui sont semblables et je concluais par continuité, les matrices diagonalisables étant denses.

    • Bien sûr, la preuve marche sur tout corps. Mais est-ce qu’elle marche dans le cas d’un anneau commutatif ? (Je parie que l’égalité reste vraie…)

      Plus précisément: Soit R est un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité dans R. Ainsi A est une matrice inversible (c’est du classique). Question : peut on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires inversibles sur R ?

  3. Il suffit de considérer B comme un n-uplet (B_1,\ldots,B_n), où les B_i sont les colonnes. Alors la multiplication à gauche par A s’identifie à l’application B\mapsto (AB_1,\ldots,AB_n) dont la matrice est diagonale par blocs, avec $n$ blocs tous égaux à A.

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