Algèbres associatives et produits vectoriels

Il y a une belle relation entre produit vectoriel et algèbre associative. La puce m’a été mise à l’oreille à propos des quaternions.

On sait en effet que le produit vectoriel usuel de \mathbb{R}^3 permet de construire facilement l’algèbre des quaternions. On écrit pour cela les quaternions comme des couples q=(r,x) formés d’un nombre réel et d’un élément de \mathbb{R}^3 puis on définit le produit par la formule

qq'=(rr'-x\cdot x',rx'+r'x+x\wedge x')

où le point centré représente le produit scalaire(*).

La vérification du fait que ce produit est associatif est aisée. Elle repose sur deux propriétés classiques du produit vectoriel, à savoir le fait qu’il agit par applications antisymétriques et l’identité du double produit vectoriel. Comme la première se déduit de la seconde, c’est finalement l’identité du double produit qui joue un rôle fondamental dans la construction.

J’ai abondamment discuté sur ce blog de cette dernière et on trouvera dans ce billet les conclusions de ces investigations. Pour rappel, on y définit un produit vectoriel comme un triple (E,\tau, g) formé d’un espace vectoriel (réel) E muni d’une multiplication bilinéaire et antisymétrique \tau:E\times E\to E et d’une application bilinéaire g:E\times E\to \mathbb{R} vérifiant l’identité du double produit vectoriel :

\tau(x,\tau(y,z))=g(x,z)y-g(x,y)z

Il est assez clair, d’après ce que j’ai écrit plus haut, que si (E,\tau, g) est un produit vectoriel, alors \mathbb{R}\times E muni du produit

(1) (r,x)(s,y)=(rs-g(x,y),ry+sx+\tau(x,y))

est une algèbre associative.

Ce qui est amusant, c’est que cette propriété admet une réciproque. Ainsi :

Si \tau:E\times E\to E est bilinéaire et antisymétrique et si g:E\times E\to \mathbb{R} est bilinéaire, alors la multiplication (1) de \mathbb{R}\times E est associative si, et seulement si, (E,\tau, g) est un produit vectoriel.

Voici comment on peut le vérifier. En calculant ((r,x)(s,y))(t,w)-(r,x )((s,y)(t,w)), on constate que la multiplication (1) est associative si, et seulement si, les identités suivantes sont satisfaites :

(2) \tau(\tau(x,y),z)-\tau(x,\tau(y,z))=g(x,y)z-g(y,z)x

(3) g(x,\tau(y,z))-g(\tau(x,y),z)=0

Elles le sont effectivement lorsque (E,\tau,g) est un produit vectoriel : (2) résulte immédiatement de l’identité du double produit et de l’antisymétrie de \tau et (3) du fait que g est symétrique et les multiplications à gauches

\gamma_x:y\mapsto \tau(x,y)

sont des applications antisymétriques(**).

Passons à la réciproque. Avec z=x, compte tenu de l’antisymétrie de \tau, (2) devient

g(x,y)x-g(y,x)x=0

Ainsi, g est symétrique. Mais alors, un peu de calcul montre que \tau vérifie l’identité de Jacobi

\tau(x,\tau(y,z))+\tau(y,\tau(z,x))+\tau(z,\tau(x,y))=0

Combiné avec (2), et moyennant l’antisymétrie de \tau, ceci donne l’identité du double produit vectoriel et achève ainsi la démonstration.

Dans le billet dont il est fait mention ci-dessus, on signale qu’il y a trois familles de produits vectoriels, caractérisées par le rang de leur forme bilinéaire. Dans deux articles à venir, nous identifierons les algèbres associatives associées à certains d’entre eux.

__________
(*) En termes de la célèbre base (1,i,j,k) de \mathbb{H}, q=a+bi+cj+dka=r et (b,c,d)=x.
(**) Une application linéaire T:E\to E est antisymétrique pour g si

g(Tx,y)+g(x,Ty)=0

pour tous x,y\in E. Ces propriétés des produits vectoriels ont été prouvées dans des billets antérieurs.

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