Produits vectoriels et algèbres de Clifford I

Dans ce billet dont nous adoptons les notations, une algèbre associative avec unité est canoniquement associée à chaque produit vectoriel (E,\tau,g). Il s’agit de l’espace \mathbb R\times E muni du produit

(r,x)(s,y)=(rs-g(x,y),ry+sx+\tau(x,y))

L’antisymétrisation de ce produit restitue essentiellement \tau. L’algèbre ainsi construite peut donc être considérée comme une algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie (E,\tau).

Nous allons voir que l’on peut obtenir de la sorte toutes les algèbres de Clifford des formes bilinéaires symétriques de \mathbb{R}^2.

Pour rappel, l’algèbre de Clifford d’une telle forme ne dépend que de sa signature (\epsilon_1,\epsilon_2). Nous la noterons \mathcal C_{\epsilon_1,\epsilon_2}. On en obtient une copie en prenant deux générateurs u, v auxquels on impose les relations

u^2=\epsilon_1,\quad vu=-uv,\quad v^2=\epsilon_2

L’algèbre admet alors la base (1,u,v,w:=uv) dont la table de multiplication est entièrement déterminée par ces relations et par le fait que 1 est le neutre de la multiplication.

Nous allons nous occuper ici du cas des formes non dégénérées, laissant les autres pour un article ultérieur.

L’algèbre \mathcal C_{-1,-1} est l’algèbre des quaternions, les générateurs u,v et w étant plus communément désignés par i,j,k. C’est l’algèbre canoniquement associée au produit vectoriel de l’espace des quaternions purs muni d’un produit scalaire et d’une orientation obtenus en déclarant que (i,j,k) est une base orthonormée directe(*).

On sait aussi que les algèbres \mathcal C_{-1,1} et \mathcal C_{1,1} sont isomorphes à l’algèbre gl(2,\mathbb R) des matrices carrées réelles de dimension 2. Nous allons retrouver ce fait en constatant que ces trois algèbres sont les algèbres canoniques associées à des avatars du produit vectoriel défini par l’algèbre de Lie sl(2,\mathbb R) des matrices réelles carrées de dimension 2 et de trace nulle.

Pour les deux premières, l’algèbre de Lie (E,\tau) est sl(2,\mathbb R) muni de son crochet de Lie habituel, le commutateur de matrices, et la forme bilinéaire g est le multiple -1/2 de la forme de Killing de sl(2,\mathbb R). Les générateurs u,v, avec leur produit w, forment une base orthogonale de g. Ils sont choisis en fonction de la signature considérée. Je vais les donner explicitement.

Pour fixer les notations, posons

e_1=\frac 1 2 \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad e_2=\frac 1 2 \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad e_3=\frac 1 2 \begin{pmatrix}1&0\\ 0 &-1\end{pmatrix}

Ces matrices forment une base de sl(2,\mathbb R) orthogonale pour g. Les carrés de leurs longueurs respectives sont 1,-1,-1 et leurs crochets de Lie sont donnés par

[e_1,e_2]=-e_3,\quad [e_2,e_3]=e_1,\quad [e_3,e_1]=-e_2

On voit alors que \mathcal C_{-1,1} est isomorphe à l’algèbre associative canoniquement associée à ce produit vectoriel en prenant pour générateurs u=e_1,v=e_3 tandis que pour \mathcal C_{1,1}, on utilise u=e_2, v=-e_3(**).

On peut montrer intrinsèquement que gl(2,\mathbb R) est isomorphe à l’algèbre canonique associée à un produit vectoriel. On utilise pour cela le produit vectoriel (sl(2,\mathbb R),\frac 1 2 [.,.],\frac 1 4 g) à la place de (sl(2,\mathbb R),[.,.],g), auquel il est isomorphe.

Le tout repose sur une jolie formule, propre aux matrices de dimensions 2 :

\forall A,B\in sl(2,\mathbb R),\quad AB=\frac 1 2 [A,B]+\frac 1 2 \mathrm{tr}(AB)\mathbf{1}

\mathbf{1} représente la matrice unité.

Décomposons les éléments A de gl(2,\mathbb R) en la somme de leur partie de trace nulle A' et d’un multiple \alpha de l’unité(***). A l’aide de cette formule, le produit de gl(2,\mathbb R) s’écrit

\forall A,B\in gl(2,\mathbb R), \quad AB=\left(\alpha\beta+\frac 1 2\mathrm{tr}(A'B')\right)\mathbf{1}+\alpha B'+\beta A'+\frac 1 2 [A',B']

Il a bien la forme annoncée.

__________
(*) Il est isomorphe au produit vectoriel associé à l’algèbre de Lie so(3) des matrices réelles antisymétriques de dimension 3 dont le produit vectoriel usuel de \mathbb R^3 est un autre exemplaire.
(**) Les vérifications sont faciles à réaliser, compte tenu de ce que j’ai rappelé plus haut. Je ne les détaillerai pas.
(***) Naturellement

\alpha=\frac 1 2 \mathrm{tr}(A)

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Une réflexion sur “Produits vectoriels et algèbres de Clifford I

  1. En fait, venant de terminer la rédaction de ce billet et du suivant, je me suis aperçu que la construction des algèbres de Clifford rappelée dans le billet montre que leurs produits sont a priori de la forme

    (r,x)(s,y)=(rs-g(x,y),ry+sx+\tau(x,y))

    g est bilinéaire symétrique et diagonale dans la base (u,v,w), et \tau est bilinéaire antisymétrique.

    En effet, dans \mathcal C_{\epsilon_1,\epsilon_2}

    (au+bv+cw)(a'u+b'v+c'w)=(\|u\|^2 aa'+\|v\|^2 bb'+\|w\|^2cc')1+\left(...\right)

    où les termes non écrits (...) sont antisymétriques en (a,b,c), (a',b',c') puisque les « unités » u,v,w, dont ils sont combinaisons linéaire, anticommutent.

    Ceci montre directement que les algèbres de Clifford considérées sont canoniquement associées à des produits vectoriels vu le résultat du billet précédent. Je crois néanmoins intéressant de passer en revue chacune afin d’identifier les produits vectoriels mis en jeux comme je l’ai fait dans les deux articles. J’aurais cependant été bien inspiré en réfléchissant davantage avant de les poster, ils auraient sans doute pris une autre forme.

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