Produits vectoriels et algèbres de Clifford II

Je poursuis ici la réalisation des algèbres de Clifford des formes bilinéaires symétriques de \mathbb R ^2 comme algèbres canoniquement associées à des produits vectoriels.

Dans ce billet, on a construit les algèbres correspondants aux formes non dégénérées et ce, grâce aux produits vectoriels dont la forme bilinéaire est également non dégénérée, ceux associés aux algèbres de Lie so(3) et sl(2,\mathbb R).

Il nous reste trois algèbres de Clifford à construire : les algèbres \mathcal C_{\pm 1,0} relatives aux formes de rang 1 et l’algèbre \mathcal C_{0,0} associée à la forme nulle(*). Curieusement, les premières sont construites à partir de produits vectoriels (E,\tau,g) pour lesquels g est de rang 1 tandis que pour la dernière, g est nul.

Les produits vectoriels pour lesquels g est de rang 1 s’obtiennent comme ceci. Il sont définis sur E=\mathbb R\times V, où V est un espace vectoriel réel, g est défini par la condition \|(r,x)\|^2=\varepsilon r^2, où \varepsilon=\pm1 et

\tau((r,x),(s,y))=(0,rT(y)-sT(x))

T est une application linéaire de V dans lui-même, dont le carré est le multiple -\varepsilon de l’identité(**).

Prenons par exemple V=\mathbb R^2 et T:(x,y)\mapsto (\pm y,x). L’espace E est alors \mathbb R^3, le crochet de Lie est

\tau((x,y,z),(x',y',z'))=(0,\pm(xz'-x'z), xy'-x'y)

et \|(x,y,z)\|^2=\mp x^2.

Comme on le voit sans peine en prenant les générateurs u=(1,0,0) et v=(0,1,0), les algèbres associatives canoniques associées à ces deux produits vectoriels sont \mathcal C_{\pm 1,0}.

Les produits vectoriels pour lesquels g=0 sont tout simplement les algèbres de Lie nilpotentes de degré 2(***).

Parmi elles, on trouve l’algèbre de Lie de Heisenberg H_3 de dimension 3. C’est l’algèbre de Lie des matrices réelles de dimension 3 et strictement triangulaires supérieures. Elle admet une base (e,z,f) dans laquelle la table de son crochet de Lie est donnée par

[e,f]=z, [z,e]=[z,f]=0

L’algèbre associative qui lui est canoniquement associée est \mathcal C_{0,0}, ce qu’on voit en la construisant avec les générateurs u=e, v=f.

Nous sommes ainsi arrivés au terme de notre petit périple dans le monde des algèbres de Clifford. 😉

__________
(*) J’utilise les notations du billet cité en début d’article.
(**) Ce sont donc des extensions abéliennes particulières de l’algèbre de Lie \mathbb R. Celles qui correspondent à des valeurs opposées de \varepsilon ne sont pas isomorphes. Pour un même \varepsilon, celles qui sont construites avec des endomorphismes conjugués de V le sont. Je pense que la réciproque n’est pas loin d’être vraie mais je ne l’ai pas vérifié.
(***) Je veux dire par là que les doubles crochets de Lie [x,[y,.]] sont toujours nuls.

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Une réflexion sur “Produits vectoriels et algèbres de Clifford II

  1. Il y a dans chaque famille de produits vectoriels des algèbres de Lie bien connues. Nous avons trouvé so(3), sl(2,\mathbb R) pour le cas où g est non dégénérés et les algèbres de Lie de Heisenberg pour le cas où il est nul.

    L’algèbre du groupe des transformations affines de la droite réelle est un exemple de produit vectoriel dont la forme bilinéaire est de rang 1.

    Avec les notations du billet, on l’obtient en prenant V=\mathbb R et T égal à l’identité. Le crochet de Lie correspondant est alors déterminé par

    [(1,0),(0,1)]=(0,1)

    C’est bien le crochet de Lie de l’algèbre affine en dimension 1. Pour la forme bilinéaire, on a

    \|(1,0)\|^2=-1,\quad \|(0,1)\|^2=0

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