Ceva, Menelaus et ellipses

Considérons un triangle ABC et des points A'\in BC, B'\in CA, C'\in AB.

Dans ce court billet, je faisais l’observation qu’en passant aux conjugués harmoniques A'',B'',C'' de ces points par rapport à leur côté respectif, on échange les configurations auxquelles le théorème de Ceva s’applique avec celles pour lesquelles le théorème de Menelaus est d’application.

En particulier, si les céviennes AA', BB',CC' sont parallèles à une direction u, alors les points A'',B'',C'' sont sur une droite \mathcal D_u. Il s’avère que

L’enveloppe des droites \mathcal D_u est une ellipse. C’est l’unique ellipse tangente à chaque côté du triangle en son milieu. Son centre est le centre de gravité du triangle.

Cette ellipse est caractérisée par le fait d’être tangente aux côtés en les milieux de ceux-ci car il y a au plus une conique tangente à trois droites en des points imposés. En voici une représentation :

ellipse

Chaque côté du triangle appartient effectivement à la famille \mathcal D. Il s’obtient en prenant pour u sa propre direction. Dans ce cas, la cévienne relative au sommet opposé au côté considéré lui est parallèle. Son pied est alors un point impropre du plan du triangle, autrement dit une direction, celle du côté. Son conjugué est le milieu de celui-ci tandis que les pieds des deux autres céviennes sont ses extrémités, lesquelles s’échangent par passage au conjugué harmonique.

Il est facile d’identifier trois tangentes supplémentaires de l’ellipse. Elles sont esquissées en vert sur la figure ci-dessus. Il s’agit des images des côtés du triangle ABC par la symétrie centrale dont le centre est son centre de gravité, comme illustré sur la figure suivante.

ellipse_2

Cette symétrie centrale préserve l’ellipse puisque le centre de celle-ci est le centre de gravité du triangle. Elle transforme donc chaque côté en une tangente de l’ellipse qui lui est parallèle et le milieu correspondant en le point de contact de cette tangente. Elle est donc la droite \mathcal D_u obtenue en prenant pour u la direction de la médiane issue du sommet opposé au côté.

De plus, cette médiane est la corde de contacts des tangentes à l’ellipse menée parallèlement au côté. Ainsi,

Les médianes d’un triangle sont les polaires des directions de ses côtés par rapport à l’ellipse qui est tangente à chaque côté en son milieu.

Notre symétrie centrale transforme le triangle ABC en un triangle avec lequel il partage ses médianes et les céviennes parallèles de ABC en celles de son image. Elle transforme donc l’ellipse du premier en celle du second. Comme elles ont trois tangentes communes, points de contacts compris, il en résulte que les ellipses de ABC et de son image coïncident.

Vous aurez peut-être envie de déterminer vous même l’enveloppe de la famille \mathcal D. Aussi ne vais-je pas le faire ici.😉

6 réflexions sur “Ceva, Menelaus et ellipses

  1. En fait, la symétrie considérée conservant l’ellipse relative à ABC, elle coïncide donc avec l’ellipse relative au triangle image, sans qu’il soit nécessaire pour s’en convaincre d’invoquer l’existence de tangentes communes.

  2. Pingback: Une remarque à propos de l’ellipse de Steiner d’un triangle | Blog de Pierre Lecomte

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