Polygones affines réguliers et billards extérieurs elliptiques

Alors que je lui expliquais le résultat présenté dans ce billet, un ami me fit observer qu’une ellipse définit un « billard extérieur » et que tout triangle constitue ainsi une orbite fermée du billard extérieur associé à son ellipse de Steiner.

Voici deux autres exemples d’orbites fermées. Il s’agit de pentagones, l’un convexe, l’autre étoilé :

pentagones

Quelles sont donc les orbites fermées des billards elliptiques, c’est-à-dire les polygones dont les côtés sont tangents à une ellipse en leur milieu?

La réponse est facile pour un cercle : se sont les polygones réguliers circonscrits à ce cercle.

Comme toute ellipse peut être appliquée sur un cercle par une affinité, on voit que les orbites fermées d’une ellipse sont les images par une transformation affine des polygones réguliers relatifs à une structure euclidienne arbitraire du plan. De plus, deux ellipses étant toujours images l’une de l’autre par une affinité, les orbites des billards elliptiques se répartissent en orbites du groupe affine agissant naturellement sur les polygones.

Comme la notion est affine, on aimerait une caractérisation affine de ces polygones, c’est-à-dire une caractérisation qui ne fasse référence à aucune structure euclidienne du plan affine.

Disons d’un polygone qu’il est affine régulier si la position relative d’un de ses sommets par rapport au triangle formé par les trois précédents(*) est la même pour tous les sommets. De façon plus précise : il existe des nombres p,q,r dont la somme vaut 1 et tels que si A,B,C,D sont des sommets consécutifs du polygone, on a

\quad D=pA+qB+rC

Par exemple, les quadrilatères affines réguliers sont les parallélogrammes.

parallelogramme

En effet, pour un tel quadrilatère ABCD, on doit avoir

p+q+r=1,  \quad D=pA+qB+rC\quad \& \quad A=pB+qC+rD

On tire de là l’égalité A=pr A+(p+qr)B+(q+r^2)C. Elle nous donne les équations

p+q+r=1, \quad pr=1,  \quad p+qr=0, \quad q+r^2=0

desquelles on déduit immédiatement que p=r=1 et q=-1. Ainsi

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

et ABCD est un parallélogramme(**).

On peut toujours trouver une structure euclidienne du plan d’un parallélogramme qui en fasse un carré. Dès lors, les parallélogrammes sont les orbites fermées à quatre sommets des billards extérieurs elliptiques.

Plus généralement

Les polygones affines réguliers sont les orbites fermées des billards extérieurs elliptiques. Ils sont tous inscriptibles dans une ellipse.

Voyons une manière de le prouver.

Les polygones réguliers pour une structure euclidienne donnée sont, bien entendu, affines réguliers et inscriptibles dans des ellipses. Ces propriétés étant invariantes par affinité, il nous reste à vérifier que tout polygone affine régulier est une orbite d’un billard extérieur elliptique.

Soit une énumération A_1\cdots A_n consécutive des sommets d’un tel polygone. L’affinité T de son plan qui applique respectivement A_1, A_2, A_3 sur A_2, A_3, A_4 applique chaque sommet du polygone sur le suivant, du fait qu’il est affine régulier.

En particulier, le centre de gravité

G=\frac 1 n (A_1+\cdots+A_n)

des A_i en est un point fixe. De plus T^n est l’identité et, les A_i étant distincts, T^{n-1} n’est pas l’identité. Les valeurs propres de l’application linéaire associée à T sont donc une racine n-ième primitive de l’unité, c’est-à-dire une racine de la forme

\exp(2ik\pi/n)

k et n sont premiers entre eux, et son conjugué. Il existe donc un repère (G,(e_1,e_2)) du plan du polygone dans lequel T est représenté par l’application

(x,y)\mapsto (x\cos\frac{2k\pi}{n}-y\sin\frac{2k\pi}{n}, x\sin\frac{2k\pi}{n}+y\cos\frac{2k\pi}{n})

Dès lors, considérant que la base (e_1,e_2) est orthonormée pour un certain produit scalaire, et directe, on munit le plan d’une structure euclidienne orientée pour laquelle T est une rotation de centre G et pour laquelle le polygone A_1\cdots A_n est régulier. Ceci achève la preuve de la propriété.

__________
(*) Pour un sens de parcours fixé une fois pour toute, lequel est indifférent.
(**) La réciproque est évidente.

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