Polygones affines réguliers et billards extérieurs elliptiques II

Voici quelques propriétés supplémentaires des polygones affines réguliers que nous avons identifiés dans ce billet aux orbites fermées des billards elliptiques d’un plan affine.

Cette fois, c’est aux billards extérieurs associés aux polygones que nous allons, d’une certaine façon, nous intéresser.

billard

Comme le suggère la figure — elle représente le début de l’orbite du point X dans le billard associé au polygone ABCDE, dans un billard polygonal A_1\cdots A_n, la trajectoire d’un point consiste à passer de celui-ci à son symétrique par rapport au premier sommet, A_1, puis au symétrique de cette image par rapport au sommet suivant, et ainsi de suite(*).

Le symétrique d’un point P par rapport à un point Q étant 2Q-P, après k\leq n symétries, un point X devient

X_k:=2A_k-2A_{k-1}+\cdots +(-1)^{k-1}2A_1+(-1)^kX

Ceci est l’occasion de faire deux remarques qui sont, je crois, bien classiques.

D’abord, lorsque n est impair, il y a exactement un polygone à n sommets dont les A_i sont les milieux des côtés, énumérés consécutivement. C’est l’orbite de la seule solution de l’équation X_n=X, à savoir le point

X=A_1+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_4A_5}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}

La figure suivante illustre sa construction das le cas d’un heptagone :
bil_impair

Ensuite, lorsque n est pair, l’équation X_n=X n’admet des solutions que si

\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_3A_4}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=0

Quand cette condition est satisfaite, tous les points du plan sont solution : toutes les orbites du billard sont alors fermées(**).

Cela étant,

Quel que soit son nombre de sommets, si un polygone est affine régulier, alors il est le polygone des milieux des côtés d’un polygone affine régulier(***) et le polygone dont les sommets sont les milieux de ses côtés est affine régulier.

Ceci peut être vérifié par un peu de géométrie élémentaire pour les polygones réguliers d’un plan euclidien. J’aimerais présenter ici une preuve basée sur une approche différente qui n’est pas sans intérêt propre.

Pour rappel, un polygone A_1\cdots A_n est affine régulier s’il existe des nombres p,q,r dont la somme vaut 1 et tels que

\forall i=1,...,n-2 :\quad A_{i+3}=pA_i+qA_{i+1}+rA_{i+2}

étant entendu que A_{n+1}=A_1. Les nombres p,q,r caractérisent alors l’orbite du polygone sous l’action naturelle du groupe des affinités de son plan. Dans ce billet, nous dirons qu’ils sont les paramètres du polygone.

Un corollaire immédiat de cette définition est que les milieux B_i=(A_i+A_{i+1})/2 des côtés d’un polygone affine régulier A_1\cdots A_n forment un polygone B_1\cdots B_n affine régulier qui en est l’image par une affinité.

Supposons encore A_1\cdots A_n affine régulier, de paramètres p,q,r. Notons C_i l’intersection de la parallèle à A_{i-1}A_{i+1} menée par A_i et de la parallèle à A_iA_{i+2} menée par A_{i+1}. Comme on le vérifie facilement,

C_i=A_i+\frac{p}{1-q} \overrightarrow{A_{i-1}A_{i+1}}=A_{i+1}-\frac{1}{1-q}  \overrightarrow{A_{i}A_{i+2}}

Il en résulte immédiatement que C_1\cdots C_n est un polygone affine régulier de paramètres p,q,r. De plus

C_i+C_{i+1}=2A_{i+1}+\frac{p-1}{1-q} \overrightarrow{A_iA_{i+2}}

de sorte que A_{i+1} est le milieu de [C_i,C_{i+1}] si, et seulement si, p=1.

Nous allons voir que c’est toujours le cas, en d’autres termes que

Un polygone est affine régulier si, et seulement si, il existe un nombre s tel que, quels que soient quatre sommets consécutifs ABCD du polygone,

(1) \overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{BC}

Les paramètres des polygones réguliers sont donc déterminés par un seul nombre :

p=1, \quad q=-s, \quad r=s

Passons à la vérification. Il est clair que si un polygone à la propriété annoncée, il est affine régulier. C’est la réciproque qui est moins évidente. A la fin du billet mentionné au début de ce texte, on a montré qu’un polygone à n côtés est affine régulier si, et seulement si, il est l’image par une affinité d’un polygone de \mathbb C dont les affixes des sommets sont les puissances d’une racine n-ième primitive de l’unité, z. Quatre sommets consécutifs ABCD de ce polygones ont donc pour affixes des nombres de la forme u,uz,uz^2, uz^3. On voit ainsi que (1) est vérifié, avec

s=\frac{z^3-1}{z^2-z}=z+\overline{z}+1

et la propriété est établie, ainsi que la précédente.

Le nombre de racines n-ièmes primitives de l’unité est la valeur \varphi(n) de l’indicatrice d’Euler ; c’est le nombre d’entiers positifs plus petits que n et premiers avec lui. Comme la racine z et son inverse \overline z donnent la même valeur à s et sont les seules à lui donner,

Le nombre de sortes de polygones affines réguliers à n sommets vaut \varphi(n)/2.

Voici les premières valeurs de ce nombre :

\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline\varphi(n)/2&1&1&2&1&3&2&3&2&5\end{array}

Nous reviendrons dans un billet prochain sur les nombres s. En attendant, en voici quelques uns :

\begin{array}{c||c|c|c|c}n&3&4&5&6\\ \hline s&0&1&\tau,-1/\tau&2\end{array}

\tau est le nombre d’or(****).

Avec s=\tau, on obtient les pentagones affines réguliers convexes; avec -1/\tau, les étoilés.

Ces valeurs de s sont toutes constructibles à la règle et au compas. Au départ de trois points non alignés donnés arbitrairement, en utilisant (1), on peut donc construire aisément l’unique polygone affine régulier correspondant à une de ces valeurs et dont ces points sont les trois premiers sommets.

En guise de mot de la fin, voici une illustration des trois types d’enneagones affines réguliers.

enneagones

__________
(*) Il est entendu que A_1 succède à A_n et qu’on recommence alors à décrire les sommets du polygone, dans l’ordre, etc.
(**) Pour n=4, elle signifie très exactement que le polygone est un parallélogramme.
(***) Pour lever toute ambiguïté, les milieux sont ordonnés comme on les rencontre en parcourant le polygone dans l’ordre des numéros de ses sommets.
(****) Il est traditionnellement désigné par la même lettre que l’indicatrice d’Euler … Pour rappel,

\tau=\frac{\sqrt 5 +1}{2}

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