Polygones affines réguliers et polynômes

Dans ce billet, nous allons examiner de plus près les nombres qui déterminent les positions relatives des sommets d’un polygone affine régulier par rapport à trois consécutifs d’entre eux — voir cet article et celui-ci.

Il résulte de ces articles qu’un polygone A_1\cdots A_n est affine régulier s’il existe un nombre s tel que(*)

(1) \forall i=1,...,n-2,\quad A_{i+3}=A_i-sA_{i+1}+sA_{i+2}

ou, cela s’avère être équivalent, s’il existe une affinité \mathcal{T} telle que

(2) \forall i=1,...,n :\quad \mathcal{T}(A_i)=A_{i+1}

On sait également que pour n\geq 3 donné, il y a \varphi(n)/2 sortes de polygones affines réguliers à n sommets et que les nombres s correspondants sont les nombres z+\bar z+1z décrit les racines n-ièmes primitives de 1.

Nous désignerons par e_n l’ensemble de ces nombres et nous noterons u_n le polynôme

u_n(x)=\prod_{s\in e_n}(x-s)

Mon propos est de déterminer u_n en fonction de n.

Les équations (1), limitées à i<n-2, fournissent les coordonnées barycentriques des sommets A_i par rapport à A_1A_2A_3. Elles montrent en particulier qu'il existe des polynômes p_i,q_i,r_i\in\mathbb{R}[x] tels que

A_i=p_i(s)A_1+q_i(s)A_2+r_i(s)A_3

Ils sont définis pour toutes les valeurs entières et positives de i et sont universels — indépendants des points A_1,A_2,A_3. On peut donc écrire, pour i\geq 3(**),

A_{i+1}=p_iA_2+q_iA_3+r_iA_4

Ainsi, ces polynômes vérifient le système d’équations de récurrence

\left\{\begin{array}{rcl}p_{i+1}&=&r_i\\ q_{i+1} & = &p_i-xr_i\\ r_{i+1} & = &q_i+xr_i\end{array}\right.

qui les déterminent complètement, à partir de la condition initiale p_3=0,q_3=0,r_3=1. En voici quelques uns :

\begin{array}{c||c|c|c}i &p_i &q_i &r_i\\ \hline 4 &1&-x &x\\ \hline 5 &x &1-x^2&x^2-x\\ \hline 6 & x^2-x & -x(x^2-x-1) & (x-1)(x^2-x-1)\\ \hline 7 & (x-1)(x^2-x-1) & -x(x^2-1)(x-2) & x(x-2)(x^2-x-1)\\ \hline 8&x(x-2)(x^2-x-1)&-(x^2-x-1)(x^3-2x^2-x+1)&x(x-2)(x^3-2x^2-x+1) \end{array}

L’équation de (1) relative à i=n-2 impose d’avoir, pour un polygone affine régulier à n sommets,

p_{n+1}(s)=1,q_{n+1}(s)=r_{n+1}(s)=0

autrement dit, que s soit un zéro du plus grand commun diviseur v_n des polynômes p_{n+1}-1, q_{n+1} et r_{n+1}.

Voici les premiers polynômes v_n et leur interprétation. On peut les déduire facilement de la table précédente(***).

\begin{array}{c||c|c|c} n & v_n&e_n&u_n \\ \hline 3 & x&\{0\}&x \\ \hline 4 & x-1&\{1\}&x-1 \\ \hline 5 & x^2-x-1&\{\tau,-1/\tau\}&  x^2-x-1\\ \hline 6 & x(x-2) &\{2\}&x-2\\ \hline 7 & x^3-2x^2-x+1& e_7&x^3-2x^2-x+1\end{array}

Les deux premières lignes de ce tableau confirment ce que nous savons déjà à savoir que les triangles sont tous affines réguliers — la valeur s=0 trouvée pour eux signifiant simplement que le sommet suivant le troisième est le premier — et que les quadrilatères affines réguliers sont les parallélogrammes.

Pour exploiter les informations données par la troisième ligne, faisons une remarque préalable :

Si ABCD sont quatre sommets consécutifs d’un polygone affine régulier convexe à n sommets, alors

\overrightarrow{AD}=\left(2\cos\frac{2\pi}{n}+1\right)\overrightarrow{BC}

En effet, pour un polygone régulier convexe d’un plan euclidien, les sommets forment un trapèze isocèle :

trapeze

On le voit facilement, les angles notés 1,2,3 dans cette figure valent respectivement (n-2)\pi/n, \pi/n et (n-3)\pi/n de sorte que, d’après la règle des sinus appliquée au triangle inférieur,

b=\frac{\sin(3\pi/n)}{\sin(\pi/n)}a=\left(2\cos\frac{2\pi}{n}+1\right)a

comme annoncé.

La ligne relative à n=5 de la table des v_n donne les deux types de pentagones affines réguliers. Avec le nombre d’or \tau, on obtient les pentagones convexes et avec son conjugué, les pentagones étoilés. En effet, pour un polygone convexe, le nombre s vérifiant (1) est nécessairement positif(****). En confrontant ceci avec le résultat précédent, nous retrouvons ainsi la valeur du cosinus de 2\pi/5 :

\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt 5-1}{4}

La dernière ligne de la table nous montre le polynôme dont les zéros sont les nombres caractérisant les heptagones affines réguliers. Je ne les y ai pas explicités bien qu’ils nous soient connu. En effet, d’après sa définition,

e_7=\left\{2\cos\frac{2\pi}{7}+1,2\cos\frac{4\pi}{7}+1,2\cos\frac{6\pi}{7}+1\right\}

Mais à la différence des pentagones affines réguliers, les heptagones affines réguliers ne sont pas constructibles à la règle et au compas. Nous ne pouvons donc pas trouver d’expression de ces nombres utilisant l’arithmétique élémentaire et les radicaux (la méthode de Cardan fournit des expressions utilisant des radicaux, cubiques, mais ils portent sur des nombres complexes).

La figure suivante montre une partie des graphes de u_5 et u_7, ainsi que de

u_{13}=v_{13}=x^6-5x^5+5x^4+6x^3-7x^2-2x+1

que j’ai ajouté par curiosité. On y voit bien ses 6 zéros. Comme ceux de u_7, ils ne sont pas constructibles.

courbe

Il reste une ligne de la table des v_n sur laquelle je n’ai pas encore fait de commentaires, celle relative à n=6. J’y reviendrai ultérieurement pour poursuivre, autant que faire se peut, la quête des polynômes u_n.😉

__________
(*) On pose A_{n+1}=A_1.
(**) Naturellement, (p_1,q_1,r_1)=(1,0,0), (p_2,q_2,r_2)=(0,1,0), (p_3,q_3,r_3)=(0,0,1), nous n’y reviendrons pas.
(***) Afin de ne pas le confondre avec l’indicatrice d’Euler, je note ici \tau le nombre d’or qui est traditionnellement désigné par \varphi.
(****)Voir ici une autre manière d’établir ces propriétés des pentagones.

2 réflexions sur “Polygones affines réguliers et polynômes

  1. Quel réussite votre blog, on ne dégote que des articles intéressants.
    J’aime passer sur ce blog pour me divertir.
    D’ou vous optenez votre imagination, car tenir un ce blog c’est beaucoup de boulot.

  2. Merci pour votre intérêt!

    Je consacre en effet beaucoup de temps à ce blog car je trouve que c’est un endroit bien adapté pour raconter certaines choses que je ne pourrais ni exposer en cours ni sans doute publier dans les revues scientifiques usuelles.

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