Polygones affines réguliers et polynômes II

Je poursuis ici la discussion entamée dans le billet Polygones affines réguliers et polynômes dont je reprends les notations et la numérotation des propriétés.

La table des premières valeurs de v_n qui y est donnée montre que v_6=u_3u_6. Il s’agit d’une manifestation de faits (3) et (4) énoncés plus bas.

Informellement, il se passe ceci. Les critères (1) et (2) de régularité affine d’un polygone présentés dans le billet en question reposent implicitement sur le fait que ses sommets sont deux à deux distincts. Par contre, l’équation v_n(s)=0 dont les solutions caractérisent la forme des polygones affines réguliers à n sommets n’encode pas cette hypothèse. Pour le dire autrement, si, avec un zéro s de v_n et trois points non alignés A_1,A_2,A_3 on construits la suite de points définie par

A_{i+3}=A_i-sA_{i+1}+sA_{i+2}

on aura certainement A_{n+1}=A_1 — c’est à cela que sert la condition v_n(s)=0 — mais cela n’exclut nullement d’avoir A_d=A_1 pour un d\leq n.

Ainsi, l’équation v_6=0 ne différencie pas un vrai hexagone d’un triangle dont on parcourrait deux fois les sommets dans l’ordre — dont les sommets seraient considérés comme doubles en quelque sorte. Ceci explique qu’en plus du facteur u_6 décrivant les hexagones affines réguliers, v_6 admet le facteur u_3 relatif aux triangles.

(3) Si d|n, alors u_d divise v_n.

En effet, soit un zéro s de u_d et un polygone affine régulier A_1\cdots A_d dont la forme est caractérisée par s. Il y a une affinité(*) \mathcal T transformant A_i en A_{i+1} pour 1\leq i<d et A_d en A_1. Comme d divise n, \mathcal T^n est l'identité. Par conséquent, s annule v_n et u_d, dont les zéros sont simples, divise donc ce dernier.

(4) Les zéros de v_n figurent parmi ceux des u_d dont l’indice d divise n.

De fait, soient un zéro s de v_n , trois points non alignés A_1,A_2,A_3 et, pour 3<i\leq n, les points

A_i=p_i(s)A_1+q_i(s)A_2+r_i(s)A_3

Il y a une affinité \mathcal T qui applique chaque A_i sur le suivant, le suivant de A_n étant A_1. Naturellement \mathcal T^n est l’identité et le plus petit d tel que\mathcal T^d soit l’identité divise n. Puisque \mathcal T^{d-1} n’est pas l’identité, A_1\cdots A_d est un polygone affine régulier dont la forme est caractérisée par s qui est donc un zéro de u_d.

Il est clair que les u_n sont premiers entre eux. Des deux faits précédents, nous déduisons donc que v_n est divisible par le produit des u_d dont l’indice divise n. En fait, je suis persuadé de ce que

(5) v_n=\prod\limits_{d|n, d>2}u_d

mais, pour l’instant, je ne sais pas le prouver. Nous allons donc l’accepter comme une modeste conjecture et nous tourner, enfin, vers les polynômes cyclotomiques.

Pour rappel le polynôme cyclotomique \Phi_n est le polynôme unitaire dont les zéros sont les racines n-ièmes primitives de l’unité. Il est dès lors clair que, pour n>2,

(6) \Phi_n(x)=x^{\varphi(n)/2}u_n\left(x+\frac 1 x +1\right)

Les polynômes v_n donnent également des identités intéressantes :

\left\{\begin{array}{rcl}x^{2p}-1&=&(x^2-1)x^{p-1}v_{2p}\left(x+\frac 1 x +1\right)\\[1ex]x^{2p+1}-1&=&(x-1)x^pv_{2p+1}\left(x+\frac 1 x +1\right)\end{array}\right.

Cela résulte facilement de (5), (6), de l’identité

x^n-1=\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)

ainsi que de l’égalité

n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)

et des valeurs particulières

\Phi_1(x)=x-1, \Phi_2(x)=x+1\quad \& \quad \varphi(1)=\varphi(2)=1

Les relations ci-dessus donnent des manières de calculer les polynômes u_n,v_n probablement plus rapides que celles qui découlent directement de leurs définitions, encore faudrait-il que (5) soit confirmé…

Je vais y réfléchir!😉

__________
(*) Voir (2) et environs dans le billet mentionné plus haut.

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