Polygones affines réguliers et billards extérieurs elliptiques III

Voici une jolie propriété intimement liée aux polygones réguliers affines dont j’ai parlé dans ce billet. Nous nous plaçons dans un plan affine réel.

ellipse

Soient un triangle ABC, un nombre s\neq -1 et le point D=A-sB+sC. Il existe une seule conique \mathcal C_s qui est tangente aux segments [A,B], [B,C] et [C,D] en leurs milieux. C’est une ellipse lorsque -1<s<3, une parabole quand s=3 et une hyperbole sinon. Elle est invariante sous l'action de l'affinité \mathcal T_s définie par

\mathcal T_s(A)=B, \mathcal T_s(B)=C, \mathcal T_s(C)=D

Voici une façon de le prouver. La conique cherchée, dont l’unicité est a priori évidente, appartient au faisceau des coniques tangentes aux côtés AB et CD en leurs milieux respectifs P, Q. Montrons que c’est celle qui passe par le milieu R du segment [C,D]. Un peu de calcul donne facilement une équation de celle-ci dans le repère pour lequel les coordonnées de A,B,C sont respectivement (0,0), (1,0), (0,1) :

f(x,y)\equiv x^2+(s+1)xy+(s+1)y^2-x-(s+1)y+\frac 1 4 =0

Dans le même repère, l’affinité \mathcal T_s est représentée par la transformation

\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&-x-(s+1)y+1\\y'&=& x+sy\end{array}\right.

On constate par inspection directe que f(x',y')=f(x,y). Ainsi, la conique d’équation f=0 est invariante par \mathcal T_s. En particulier, elle est tangente à CD : c’est donc bien \mathcal C_s dont la nature se déduit par ailleurs immédiatement de f.

La proposition est donc établie.

La conique \mathcal C_0 n’est autre que l’ellipse de Steiner du triangle ABC dont j’ai donné une propriété étonnante ici.

Avec les mêmes données que dans la proposition précédente, formons la suite de points A_i obtenue en itérant \mathcal T_s ou, cela revient au même, par la récurrence

\left\{\begin{array}{l}A_{i+3}=A_i-sA_{i+1}+sA_{i+2}\\ A_1=A,A_2=B,A_3=C\end{array}\right.

Comme illustré sur la figure ci-dessus où sont tracés les dix premiers points A_i, un fait remarquable découle de l’invariance de \mathcal C_s par \mathcal T_s :

La conique \mathcal C_s est tangente à chaque segment [A_i,A_{i+1}] en son milieu.

Voici une autre manifestation de ce phénomène :

suite_3

Comme on a pu le constater, les points A_i sont généralement tous distincts. Il peut néanmoins arriver que l’on ait A_n=A_1 pour un certain indice n. La suite est alors périodique de période n et décrit un polygone affine régulier, tel par exemple cet heptagone

hepta

Ces « dégénérescences » de la suite des A_i arrivent précisément en les valeurs de s dont j’ai abondamment parlé récemment, à savoir les nombres de la forme z+\bar z+1, où z est une racine primitive de l’unité.

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Une réflexion sur “Polygones affines réguliers et billards extérieurs elliptiques III

  1. Il est facile de voir que, lorsque s\neq -1,3, \mathcal T_s fixe le centre de \mathcal C_s et qu’il commute avec toutes les homothéties ayant ce point pour centre.

    Une de ces homothéties applique un point de \mathcal C_s sur A. Dès lors, les points A_i sont situés sur une conique homothétique à \mathcal C_s et qui est stabilisée par \mathcal T_s.

    On retrouve en particulier le faits que les polygones affines réguliers sont inscrits à des ellipses.

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